Раздел I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРИЕМА СИСТЕМ СИГНАЛОВ

Глава 1. СИГНАЛЫ, СПЕКТРЫ, КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ

1.1. Сигналы и спектры

Сигналом называется изменяющаяся физическая величина, отображающая сообщение. Сигнал и, являющийся функцией времени записывается в виде

Множество сигналов определяемое единым правилом построения, называется системой сигналов. Таким образом, система сигналов определена, если известно правило построения сигналов. Правило построения можно записать в любом виде, важно только, чтобы оно было едино для данной системы. (Более подробно этот вопрос рассмотрен в § 1.3.) Номер сигнала указан в виде индекса Если число сигналов в системе равно то можно пронумеровать сигналы натуральными числами от 1 до и обозначить Число назовем объемом системы сигналов.

Будем рассматривать сигналы конечной длительности. Такие сигналы называются финитными. Обозначим длительность сигнала через и допустим, что длительности всех сигналов системы одинаковы.

В дальнейшем будем рассматривать сигналы, которые можно представить в следующем виде:

где огибающая, несущая частота, медленно-меняющаяся часть фазы сигнала. Допустим, что не зависит от номера сигнала и одинакова для рассматриваемой системы сигналов.

Представлению (1.1) соответствует радиочастотный сигнал. Так как в книге рассматриваются реальные сигналы (которые можно сформировать и обработать), то все функции времени и параметры правой части (1.1) известны в детерминированном или в статистическом смысле.

Когда сигнал задан в общем виде и правая часть (1.1) не известна, то необходимо воспользоваться преобразованием Гильберта [104] и найти сопряженный сигнал В этом случае огибающая

и фаза

Если функция непрерывная и имеет непрерывную первую производную, то мгновенная частота сигнала со по определению, равна первой производной фазы т. е.

В дальнейшем будем называть просто фазой сигнала. Она может содержать постоянную составляющую называемую начальной фазой, линейную составляющую и нелинейную составляющую т. е.

Сумма является несущей частотой сигнала, а частотным сдвигом сигнала. Обычно

Рис. 1.1

На рис. 1.1, а показан фазоманипулированный сигнал (ФМ), состоящий из четырех радиоимпульсов с одинаковой несущей частотой, но с различными начальными фазами. На рис. 1.1, б и в представлены его огибающая и фаза Огибающая постоянна на интервале длительностью а фаза равна двум значениям О или .

Если несущая частота сигнала то такой сигнал является видеочастотным. На рис. 1.1, г изображен видеочастотный сигнал последовательность положительных и отрицательных прямоугольных импульсов, полученный из ФМ сигнала рис 1.1, а при условии, что Так как знаки импульсов видеочастотного сигнала определяются начальными фазами импульсов радиочастотного сигнала, то по аналогии с радиочастотным сигналом видеочастотный также называется фазоманипулированным сигналом.

Спектр сигнала определяется преобразованием Фурье

Спектр является функцией угловой частоты где линейная частота. (В дальнейшем и будем называть просто частотой.) Бесконечные пределы интегрирования соответствуют общему случаю. При определении спектра финитного сигнала необходимо

учитывать его расположение на оси времени Спектр может быть представлен в виде амплитудный, а фазовый спектр сигнала

Ширина спектра. Спектр финитных сигналов имеет бесконечную протяженность, поэтому единого определения ширины спектра не существует. В зависимости от целей исследования ширину спектра сигнала находят по-разному (см., например, [25]). В дальнейшем ширину спектра будем определять так, чтобы, во-первых, максимально упрощать математические преобразования и, во-вторых, правильно отображать суть решаемой задачи. Такой подход оправдан тем, что для сигналов, входящих в одну систему, любое достаточно разумное определение ширины спектра будет правильно отображать спектральные свойства каждого сигнала и системы сигналов в целом.

Ширину спектра сигнала будем обозначать Ширину полосы частот, занимаемую системой сигналов, обозначим Если все спектры имеют одинаковую ширину и занимают одну и ту же полосу частот, то Рсист ширина спектра одиночного сигнала. При различной ширине спектров максимальной ширине спектра. Если с изменением номеров сигналов их спектры смещаются по частоте, определение должно учитывать такое смещение.

База сигнала — произведение ширины спектра сигнала на его длительность

где ширина спектра сигнала, т. е. По предположению, сделанному ранее, все сигналы системы имеют одинаковую длительность База системы сигналов определяется аналогично (1.3):

При база Сигналы с называются простыми, а с сложными. Особое значение имеют сложные сигналы

Энергия сигнала и частотно-временная плоскость. По определению, энергия сигнала

Используя обратное преобразование Фурье

из (1.5) находим, что

Из (1.6) следует, что энергия сигнала это средневзвешенное значение произведения сигнала на его спектр. Усреднение (интегрирование) производится по времени и по частоте Весом является экспонента Подынтегральное выражение в интеграле (1.6) в некоторой точке с координатами представляет собой значение энергии, приходящейся на площадь, равную и характеризует плотность распределения энергии на частотно-временной плоскости Это дает возможность наглядно проанализировать энергетические свойства сигналов, особенно сложных.

У финитных сигналов спектр располагается по всей оси частот от до поэтому множитель тождественно равен нулю только вне полосы Таким образом, можно утверждать, что энергия финитного сигнала распределена в этой полосе.

Рис. 1.2

Обычно большая часть энергии сигнала сосредоточена в некоторой полосе частот. Обозначим через ширину такой полосы частот, внутри которой сосредоточена большая часть заданной энергии, а вне этой полосы — меньшая, которой можно пренебречь. Определенную таким образом ширину полосы частот будем считать шириной спектра сигнала. В этом случае можно полагать, что энергия сигнала сосредоточена в прямоугольнике со сторонами по оси времени по оси частот Назовем этот прямоугольник базисным. Очевидно, что для передачи сигнала с допустимой точностью необходимо иметь канал с полосой частот шириной и время передачи

Для анализа распределения энергии сигнала на частотно-временной плоскости можно непосредственно использовать (1.5), представив интеграл в виде суммы интегралов по временным или частотным интервалам:

где интегрирование производится по неперекрывающимся интервалам ( или а суммирование обеспечивает получение полной энергии сигнала. Выражение (1.7)

позволяет отдельно рассматривать части сигнала (или части спектра) и находить распределение энергии этих частей.

На рис. 1.2 приведен пример распределения энергии сигнала на частотно-временной плоскости Спектр сигнала сосредоточен около несущей частоты и располагается от до Характерно, что весь сигнал по времени разделен на четыре части и каждая занимает свою часть полосы частот, отведенной для сигнала в целом.

Заметим, что рис. 1.2 имеет качественный характер, поскольку для финитных сигналов, как было отмечено ранее, энергия распределена в полосе а для частей сигнала — на интервалах Другие примеры распределения энергии сигналов на частотно-временной плоскости будут приведены в дальнейшем.

Топографическое изображение распределения энергии сигнала на частотно-временной плоскости наглядно выделяет те части сигнала и его спектра, от которых в основном зависит энергия сигнала. Во многих случаях использование частотно-временной плоскости позволяет выделить и основные структурные особенности сигналов, т. е. выделить «главные» с энергетической точки зрения элементы сигнала.