Групповые свойства.

Система Уолша является группой [108, 212]. Доказательство следует из представления (12.9). Произведение

Сумма где некоторая последовательность, принадлежащая тому же полному коду с что и последовательности Следовательно, произведение является последовательностью Уолша. Для примера в табл. 12.2 приведена таблица умножения для системы Уолша У-8.

Таблица 12.2 (см. скан)

В табл. номера последовательностей Уолша, упорядоченных в соответствии с табл. 12.1. Произведение двух последовательностей Уолша дает новую последовательность Уолша. Например, если то в результате умножения получается последовательность с номером 3. Из табл. 12.2 следует, что нейтральным элементом является последовательность с номером состоящая из одних единиц, а обратными элементами являются сами элементы.

Так как система Уолша является подклассом полного двоичного кода с объемом и в то же время она является группой, то она есть подгруппа полного кода. В результате полный двоичный код может быть разложен по системе Уолша в соответствии с (9.6). Например, пусть Полный код имеет объем Пронумеруем все последовательности полного кода номерами от 0 до 15. Последовательности Уолша имеют номера 0, 3, 5, 6. Одно из возможных разложений полного кода имеет следующий вид:

В (15.12) верхняя строка представляет собой систему а остальные строки — смежные классы. В соответствии с классификацией систем сигналов каждая строка — подкласс полного кода. Выбор образующих определяет свойства подкласса. Более подробно этот вопрос будет рассмотрен в следующем параграфе. Число смежных классов, включая систему Уолша, равно Так как где целое число, то число смежных классов равно

Число блоков.

На рис. 12.1 приведены кодовые последовательности упорядоченные по числу блоков На рис. 12.1 справа указаны число блоков и номер последовательности в соответствии с табл. 12.1. Для системы Уолша Характерно то, что число блоков в последовательностях изменяется от 1 до . В соответствии с результатами гл. 11 система Уолша должна обладать плохими корреляционными свойствами, так как у большинства последовательностей число блоков далеко от оптимального (11.1). Это подтверждается тем, что большинство АКФ и ВКФ последовательностей Уолша имеют большие боковые пики (см., например, табл. 10.3). Более подробно этот вопрос будет рассмотрен в следующем параграфе.

Рис. 12.1

Спектральные свойства.

Известно [47], что спектры сигналов Уолша сдвинуты относительно друга друга по частоте. Сдвиг можно характеризовать как положением максимума спектральной плотности мощности, так и эффективной шириной спектра (11.8). Качественно оба метода дают один и тот же результат. Графики спектров сигналов Уолша приведены в работе [47]. Формула (11.11) определяет эффективную ширину спектров через число блоков Чем больше тем больше сдвиг спектра.

Если обратиться к спектру кодовой последовательности (1.98), то можно показать, что спектр кодовой последовательности с имеет максимум при а спектр кодовой последовательности с имеет максимум при Оба эти максимума равны Соответственно, максимум спектральной плотности мощности равен . У остальных последовательностей максимумы спектров лежат между значениями

При исследовании спектральных свойств системы Уолша целесообразно использовать двоичное (или диадное) упорядочение кодовых последовательностей [108]. Это показано в табл. 12.3.

В первом столбце табл. 12.3 дан номер последовательности в десятичной системе счисления, а в трех последующих — в

двоичной системе. Кодовые последовательности содержат Младший разряд справа, а число символов в них равно . В пятом столбце указано число блоков а в шестом — номер -строки матрицы Адамара, приведенной в табл. 12.1. Используя последовательности можно представить спектр кодовой последовательности в следующем виде:

где определено (12.10). Подставляя последовательности в (12.13), можно найти спектры кодовых последовательностей

Уолша; число блоков в таких последовательностях приведено в пятом столбце табл. 12.3.

Сигналы Уолша рис. 12.1 имеют много общего с тригонометрическими функциями. Особенно это видно при сравнении положений нулей спектров сигналов Уолша и нулей спектров тригонометрических функций. Общность между ними подчеркивалась неоднократно [47, 49, 108, 178]. В отличие от тригонометрических функций, сигналы Уолша позволяют широко и просто использовать цифровую технику при формировании и обработке, что делает их весьма перспективными. Возможен даже полный перевод всех каскадов радиотехнических систем, включая мощные каскады передатчиков, на работу в дискретном режиме, вплоть до излучения сигналов Уолша [178].

Как было отмечено ранее, корреляционные свойства систем Уолша нельзя признать удовлетворительным. Но на базе систем Уолша можно строить производные системы сигналов, которые обладают хорошими корреляционными свойствами. Перейдем к рассмотрению производных систем.

Таблица 12.3 (см. скан)