11.3. Число блоков в кодовой последовательности и ее вес

Границы веса. Пусть кодовая последовательность имеет символов и блоков. Символами являются 1 и —1. Все последовательности с числом блоков можно разделить на две группы, равные по численности. К первой отнесем последовательности, которые начинаются с 1, т. е. с положительного блока. Назовем последовательности этой группы прямыми. Ко второй группе отнесем последовательности, которые начинаются с —1, т. е. с отрицательного блока. Последовательности этой группы назовем обратными. Будем сначала рассматривать только прямые последовательности. Учесть обратные последовательности достаточно просто.

Введем ряд обозначений. Пусть число символов 1 в кодовой последовательности, число символов соответствии с этим имеем следующие равенства для общего числа символов и для веса кодовой последовательности:

Обозначим через число положительных блоков, через число отрицательных блоков, причем

Найдем границы для веса если кодовая последовательность имеет блоков. Если имеется положительных блоков, то число 1 должно быть или равно или быть больше т. е. должно выполняться неравенство . С другой стороны, если последовательность имеет отрицательных блоков, то минимальное число —1 равно а соответственнно максимальное число 1 не может превышать разности т. е. должно выполняться неравенство Объединяя оба неравенства, имеем

Из (11.34), (11.35) находим

Подставляя значение в неравенство (11.37) и преобразуя, получаем

Между и имеется следующая взаимосвязь. Так как положительные и отрицательные блоки чередуются, то при четном в соответствии с (11.36) имеем

а при нечетном и для прямых последовательностей

Подставляя значения (11.40) в (11.39), получаем для четных

Подставляя (11.41) в (11.39), получаем для нечетных :

Напомним, что вес кодовой последовательности изменяется с шагом, равным двум. Неравенства (11.42), (11.43) определяют границы изменения веса, если последовательность имеет блоков.

Число кодовых последовательностей с заданным весом. Обозначим число последовательностей с весом и числом блоков через Найдем это число с помощью следующих рассуждений. Разбить кодовую последовательность на блоков при весе означает, что символы 1 числом разбиты на блоков, а символы —1 числом разбиты на блоков.

Естественно, что при разбиении последовательности должны выполняться равенства (11.34), (11.35). Разбиение последовательности на некоторое число блоков подробно рассмотрено в § 8.5. Число таких разбиений определяется формулой (8.56). Так как разбиение последовательности на блоков состоит в разбиении на блоков и в разбиении на блоков, то в соответствии с комбинаторным правилом произведения и формулой (8.56) число прямых последовательностей с заданными равно

Формула (11.44) справедлива только для прямых последовательностей. Можно показать, что для обратных последовательностей справедлива следующая формула:

Объединяя оба результата (11.44), (11.45) и заменяя согласно (11.38), окончательно получаем искомое число

Для значения вес

Число последовательностей с числом блоков для двоичных последовательностей определяется формулой (8.58). Очевидно, что сумма по всем весам кодовых последовательностей

Относительная частота появления последовательности с весом если производится выбор из всех последовательностей с числом блоков равна отношению Назовем это отношение условной вероятностью появления веса при данном и обозначим

Из (11.46) следует, что Поэтому условное среднее равно нулю. Максимум распределения (11.48) соответствует значению при четном при нечетном

В табл. 11.2 приведены значения для поскольку Табл. 11.2 соответствует Суммы (11.47) даны в нижней строке с учетом значений (11.46) для отрицательных весов (значения при удваиваются). При При распределения вероятностей можно аппроксимировать равномерными, полагая где число весов с заданным Для В работе [54] приведено распределение вероятности Для

Таблица 11.2 (см. скан)

Из неравенств (11.42), (11.43) и табл. 11.2 следует, что чем больше тем меньше область возможных значений веса кодовой последовательности т. е. меньше уровень Следовательно, чтобы КФ обладала малыми боковыми пиками необходимо иметь ее кодовую последовательность, которую назовем производной, с максимально возможным числом блоков