Квадратическое отклонение между энергетическими спектрами идеального и оптимального сигналов.

АКФ любого сигнала полностью определяется его энергетическим спектром (1.23). Энергетический спектр идеального (гипотетического) ФМ сигнала, АКФ которого не имеет боковых пиков, определяется выражениями (11.12), (11.13). Чем ближе энергетический спектр произвольного ФМ сигнала к энергетическому спектру идеального сигнала, тем меньше будет отличаться АКФ произвольного сигнала от АКФ идеального сигнала (см., например, [25]). Сравнивая энергетические спектры этих сигналов (11.6), (11.7), замечаем, что они имеют общие множители и периодические множители, определяющие структуру сигналов. Поэтому в качестве критерия приближения произвольного ФМ сигнала к идеальному можно использовать квадратическое отклонение

Функция определена согласно (11.12), (11.13). Подставляя в (11.15) правые части выражений (11.7), (11.16) и выделяя постоянные составляющие, можем записать в следующем виде

где А — постоянная величина, равная

а периодическая функция, не содержащая постоянных ставляющих:

Подставляя последнее слагаемое в виде суммы косинусоид» имеем

Общее число гармоник в (11.20) равно

Если то Представим (11.20) в следующем виде:

где

— амплитуда гармоники, Знак определяется фазой (0 или ) косинусоиды с частотой из суммы (11.20). При записи (11.20) в виде (11.22) выполняется условие

Подчеркнем, что некоторые могут быть тождественно равны нулю в том случае, если в сумме (11.20) нет составляющих на соответствующих частотах

Подставляя (11.22) в (11.17), а (11.17) в (11.14) и интегрируя, получаем

где

Величина А (11.18) зависит только от от структуры сигнала (от вида функции Поэтому найти значение В можно только для конкретного сигнала. Однако, если предположить, что сумма (11.23) образуется слагаемыми, знаки которых равновероятны, то можно найти среднее значение В и, следовательно, Будем считать, что или —1 равновероятно. В этом случае среднее значение а дисперсия Поскольку по определению среднего значения

а

то подставляя (11.28) в (11.27) и используя (11.18), (11.21), (11.24), находим, что

Обозначая

перепишем (11.29) в следующем виде:

Если то величина а При этом

Минимум функции (11.31) имеет место при значении

При больших значение Такое согласно (11.30) соответствует значению что практически совпадает с величиной . В окрестности минимума функция меняется слабо. Это означает, что оптимальное значение не обязательно должно точно совпадать с Отметим также, что точное равенство возможно, если

Таким образом, если число блоков в ФМ сигнале близко к то отличие энергетических спектров идеального и реального сигналов будет наименьшим в статистическом смысле. Это означает, что такие ФМ сигналы должны быть оптимальными.

В работе [30] рассмотрено большое число различных оптимальных сигналов и показано, что все они удовлетворяют условиям (11.1). К таким сигналам относятся сигналы Баркера, минимаксные периодические последовательности -последовательности, последовательности Лежандра и Якоби), минимаксные апериодические последовательности с амплитудной манипуляцией и др. Примеры указанных последовательностей можно найти в работах [3, 14, 15, 23, 25, 105, 136, 156, 162, 183]. Условию (11.1) удовлетворяют и известные системы ФМ сигналов, обладающие хорошими взаимокорреляционными функциями