1.2. Представление поля излучения в области ... Теорема Флоке

Предположим, что волноводные (или другого типа) элементы антенной решетки возбуждаются распространяющимися волнами с коэффициентами, заданными выражением (1). Найдем подходящее представление для поля излучения решетки в области По существу мы выведем теорему Флоке.

В прямоугольной системе координат компоненты электромагнитного поля являются, как известно, решением однородного скалярного уравнения Гельмгольца в рассматриваемой области

где

Внутри волновода функция обычно представляет собой либо либо Как правило, можно предположить, что изменение поля по оси (в направлении распространения волны) имеет вид

и что на периметре поперечного сечения волновода либо либо где нормаль к контуру поперечного сечения.

Учитывая, что возбуждение описывается выражением (1), а структура антенной решетки является периодически симметричной, мы приходим к выводу, что компоненты полного поля подчиняются соотношению

Аналогичное распределение полное поле должно иметь в любой поперечной плоскости Изменение же поля по оси предполагается (по аналогии с волноводом) таким, что

Таким образом, уравнение (3) принимает вид

где

а функция подчиняется периодическим граничным условиям (5).

Если для решения уравнения (6) применить метод разделения переменных, мы найдем

для зависимости по оси х и

для зависимости по оси у, причем константы разделения удовлетворяют уравнению

Отмстим, рассматривая зависимость только от х, что если

то функция

является периодической, поскольку

Следовательно, функцию можно представить в виде разложения в ряд Фурье

Тогда

Каждый член этого ряда удовлетворяет уравнению (7), поэтому в общем виде

Рассматривая аналогичным образом зависимость от у, получим:

Таким образом,

и

Построение периодического решения уравнения (3), удовлетворяющего граничному условию (5), и является по существу содержанием теоремы Флоке.