ПРИЛОЖЕНИЕ 3. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ
Ниже выведены выражения для скалярного произведения волновых функций в декартовой системе координат и волновых функций с обобщенной круговой симметрией [16].
Рассмотрим решетку из коаксиальных волноводов, расположенных в узлах косоугольной сетки (рис. П.2).
Рис. П.2. Решетка из коаксиальных волноводов, расположенных в узлах косоугольной сетки. а — общий вид решетки; 
отдельный элемент решетки в увеличенном виде
В увеличенном виде элемент решетки показан на рис. П.2, б. В плоскости раскрыва имеются тонкие круглые диафрагмы.
Ортонормированпые волновые функции в свободном
пространстве имеют вид [2]
и
где 
площадь периодической ячейки.
управляющие фазы на единицу длины по осям х и у. Полная ортонормированная система волн коаксиального волновода [2] содержит волны двух типов: 
и 
Волновые функции типа 
записываются в виде
а волновые функции типа 
в виде
где 
В этих выражениях 
являются частными линейными комбинациями функций Бесселя и Неймана, которые удовлетворяют граничным условиям в коаксиальном волноводе 12]. Штрихи означают производные по аргументу. Стоящие слева в индексе и показателе символы 
обозначают вырожденную «горизонтальную» или «вертикальную» волну с угловой вариацией радиальной составляющей поля 
или 
соответственно. После перехода к цилиндрическим координатам выражения 
и 
принимают вид
и
где
Типичное скалярное произведение (или коэффициент связи) волны в волноводе и гармоник в свободном пространстве для элемента, показанного на рис. 
записывается следующим
образом:
После подстановки выражений 
и 
в 
и интегрирования по 
получаем интеграл вида 
где 
функция Бесселя порядка 
и аргумента х. Выражение 
можно проинтегрировать в замкнутой форме [17]:
Теперь можно написать скалярные произведения волновых функций обеих рассматриваемых областей в окончательном виде:
(см. скан)
Для невырожденной волны типа 
интегралы вычисляются отдельно:
Радиальная зависимость волновых функций в волноводе [в выражении 
имеет вид
где 
функция Неймана порядка 
и
Величины 
представляют собой корни характеристического уравнения
Аналогично
где 
корни уравнения
В случае круглых волноводов 
и приведенные выше функции упрощаются:
где 
корни уравнения 
и
где 
корни уравнения 
Следует отметить, что если диафрагмы в апертурах отсутствуют (т. е. 
связь между ТМ-волнами в волноводе и ТЕ-волнами в свободном пространстве отсутствует. Из выражений 
и 
следует, что 
следовательно, 
в выражении 
Интегрирование коэффициентов связи волн в замкнутой форме встречается также в задачах, касающихся антенн и неоднородностей в волноводах.
ЛИТЕРАТУРА
(см. скан)
