1. РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ РИТЦА — ГАЛЕРКИНА

Рассмотрим бесконечную плоскую решетку из волноводов круглого (или другой формы) сечения (рис. 7.1), расположенных на плоском идеально проводящем экране (плоскость периодически в узлах неортогопальной сетки координат Можно считать, что ось совпадает с осью х, а ось образует с ней угол а. Положение элемента определяется двумя индексами в соответствии с формулой

единичные векторы, направленные по осям периоды двухкоординатной сетки вдоль осей соответственно.

Рис. 7.1. Геометрия решетки на круглых волноводов.

Таким образом мы определили базовую периодически повторяющуюся ячейку [1] — параллелограмм, показанный на рис. 7.1. Элементы решетки возбуждаются с одинаковой амплитудой и линейным набегом фазы, так что фаза элемента определяется выражением

где управляющие фазы для соседних элементов по осям и соответственно. Результирующие электромагнитные ноля в элементах описываются выражениями типа

где обозначает электрическое или магнитное поле в элементе решетки. Следовательно, за исключением фазового множителя, поля во всех элементах решетки идентичны.

Чтобы сформулировать граничную задачу, внешние поля (в свободном пространстве) представляются в виде полного семейства плоских волн (типа гармоник Флоке) — решений уравнений Максвелла Это ортонормированное семейство волн состоит из функций, различающихся фазами Вывод этих функций и соответствующая диаграмма дополнительных главных лепестков даны в приложении 1.

Рис. 7.2. Периодические ячейки в решетке с косоугольной сеткой.

Внутренние поля определяются с помощью соответствующей полной ортонормированной системы векторных волновых функций Из условия непрерывности поперечных электрических и магнитных полей в пределах элемента периодической решетки с помощью метода, изложенного в гл. 2, получаем интегральное уравнение. Как показано в приложении 2, элемент периодической решетки, представляющий собой параллелограмм (рис. 7.2), можно без уменьшения общности заменить параллелограммом (или любым другим прилегающим элементом, содержащим одну полную волноводную апертуру).

Интегральное уравнение имеет вид

где неизвестная тангенциальная составляющая электрического поля в раскрыве А волноводного элемента; полные проводимости типов волн в круглых (или любых других) волноводах и пространственных гармоник в свободном пространстве соответственно. Болес привычным обозначением для типов волн в круглом волноводе является Это вещественные функции, которые состоят из ТЕ-волн и ТМ-волн Индексы указывают на число вариаций поля волны данного типа по отношению к поперечным осям координат волновода. В круглом волноводе индексы означают число изменений по углу и радиусу соответственно.

Вследствие круговой симметрии элемента существует вырождение мод, которое можно снять, если волнам, не обладающим круговой симметрией, приписать горизонтальные и вертикальные признаки [2]. Несмотря на это множество индексов, мы можем, не уменьшая общности, систематически идентифицировать моды, пользуясь лишь одним индексом как это сделано в работе [3] с функциями . Индекс выбирается так, чтобы он увеличивался вместе с собственными значениями функций При анализе свойств решетки из круглых волповодов мы предполагаем, что распространяется только волна типа В зависимости от того, какая поляризация (линейная или круговая) требуется для возбуждения решетки, будем использовать соответствующую линейную комбинацию этих волн.

Применяя метод Ритца — Галеркина, мы должны использовать систему для разложения неизвестного поля и нахождения весовых коэффициентов результирующего функционального уравнения. Такой подход удобен и предпочтителен, когда характеристики излучения и отражения решетки имеют первостепенное значение. Таким образом, мы разлагаем неизвестное поле в ряд вида

Уравнение (3) по методу Ритца — Галеркина записывается в форме бесконечных матриц

где квадратная матрица, элемент которой определяется выражением

В выраясении представляет собой символ Кронекера

и

— коэффициент связи (или скалярное произведение) между типами волн в волноводе и в свободном пространстве. Эти скалярные произведения, которые выводятся в приложении 3, можно представить в замкнутой форме для мод круглого волновода и круглой апертуры. Для получения численных решений (см. гл. 3) надо соответствующим образом усечь бесконечные суммы в выражении (6) и, следовательно, представить уравнение (5) в конечной форме. Применяя прямое обращение конечной квадратной матрицы получаем

где матрица первого порядка, элементы которой определяются выражением (б) при соответствующем усечении бесконечных сумм.

Чтобы использовать одну моду для представления возбуждения (с линейной, круговой или эллиптической поляризацией),

можно заново определить первые две моды, например следующим образом:

и

где горизонтально и вертикально поляризованные ТЕ-волны соответственно. Таким образом, случаи или соответствуют линейной поляризации возбуждения, а — круговой поляризации. Это новое определение первых двух мод сохраняет ортонормированность и полноту системы волноводных мод, но в то же время допускает некоторую гибкость в выборе требуемой функции возбуждения решетки. Модам соответствуют коэффициенты отражения И

Численные результаты, как правило, представляются в виде функции угла сканирования. Но для удобства в качестве независимых переменных будем использовать дифференциальные управляющие фазы и линейно связаны выражением (2)]. Кроме того, поскольку сканирование осуществляется и в других радиальных плоскостях, введем величину так что

Объем необходимых вычислений сокращается, если коэффициенты отражения удовлетворяют при сканировании условию симметрии [3]

Благодаря особенностям способа, примененного при переходе от волноводных мод к системе мод с единственным индексом оказывается, что у системы с такой индексацией величина (скорость радиальных изменений) остается сравнительно малой и постоянной в отличие от величины (скорость угловых вариаций), которая меняется в широких пределах и достигает больших значений. Из исследования сходимости решений как функции числа волноводных мод I, используемых в выражении (9), следует, что относительно большие изменения величин происходят только тогда, когда при увеличении I достигаются более высокие значения Такие проверки на сходимость в зависимости от числа мод вволноводах и свободном пространстве показывают, что при 18 волноводных модах и 338 модах в свободном пространстве коэффициенты отражения определяются с ошибкой, равной нескольким процентам (обычно

менее за исключением окрестности точки где претерпевают резкие изменения. Значения которых происходят резкие изменения определяются с точностью до нескольких градусов.

При других проверках точности решения необходимо установить, совпадают ли решения для ряда значений углов и плоскостей сканирования, связанных между собой условиями симметрии. Одна из таких проверок выполнения условий симметрии иллюстрируется на рис. 7.3.

Рис. 7.3. Условия симметрия в решетках с квадратной сеткой расположения элементов.

Фазированная решетка с квадратной сеткой расположения элементов в системе координат х, у возбуждается вертикально поляризованной ТЕ-волной Параметры решетки:

Параметры той же решетки в системе координат повернутой на 45°, принимают вид

Для такой решетки характеристики должны быть одинаковыми при любом угле наклона плоскости сканирования и независимо

от выбранной системы координат. Это означает, что возможна проверка поворотом на 90°. Численная проверка показала, что различия в коэффициентах отражения не превышают долей процента.

Еще одна проверка выполнения условий симметрии иллюстрируется на рис. 7.4, где построены зависимости модулей коэффициентов отражения от для угла плоскости сканирования, равного 45°.

Рис. 7.4, Решетка с квадратной сеткой расположения элементов и зависимость! от при наклоне угла плоскости сканирования под углом

Величины соответствуют коэффициентам отражения согласно формуле (14). При {показано вертикальной стрелкой) главный лепесток касается плоскости решетки а прифг луча в действительном пространстве не существует, и вся падающая мощность отражается и делится между двумя распространяющимися типами волн Особый интерес представляет точка В этой точке и элементы решетки возбуждаются так, как показано на рис. 7.4 (левый верхний угол). При таком возбуждении можно построить простую модель, используя квадратный волновод (показан сплошными линиями). Очевидно, что горизонтально поляризованный тип волны возбуждаться не может. Действительно, вычисления доказывают что при этом угле сканирования

Кривые на рис. 7.5 свидетельствуют о хорошем согласии эксперимента и результатов расчетов решетки с прямоугольной сеткой расположения элементов при вертикально поляризованном возбуждении и сканировании в -плоскости. Угол сканирования, соответствующий управляющим фазам можно промоделировать с помощью прямоугольного волновода (показан

(кликните для просмотра скана)

сплошными линиями). Экспериментальные результаты получены из измерений полей при резком переходе от круглого волновода к прямоугольному (рис. 7.6).