4.2. Метод сшивания гармоник

Системы уравнений (24) и (37) выведены в два этапа. Сначала граничная задача строго формулировалась в виде интегральных уравнений для тангенциальных составляющих электрического или магнитного поля. Затем с помощью метода моментов интегральные уравнения сводились к системам линейных алгебраических уравнений. Такие же системы уравнений можно получить с помощью приема, называемого методом сшивания гармоник [10, 11). По этому методу находят разложения ноля на гармопики в каждой области, а из условий непрерывности на границе между областями получают два отдельных соотношения между коэффициентами разложения: одно соотношение для непрерывности тангенциальных составляющих электрического поля, а другое — для непрерывности тангенциальных составляющих магнитного поля. Эти соотношения можно записать в виде бесконечных систем уравнений. Обычно считается, что в апертуре А возбуждается конечное число типов волн. В результате получается конечная система уравнений.

Рассмотрим бесконечную решетку, для которой являются векторными модальными функциями внутренней области, а гармониками внешнего пространства (гармониками Флоке). Если решетка возбуждается типом волны тангенциальные составляющие электрического и магнитного полей в апертуре определяются выражениями

Знак приближенного равенства используется в этих выражениях, потому что учитывается конечное число гармоник. Уравнение для магнитного поля справедливо только в пределах апертуры волновода, в то время как уравнение для электрического поля верно на всей единичной ячейке, причем в области Умножая первое уравнение на интегрируя в пределах С и учитывая ортонормированность гармоник, найдем

где коэффициенты связи между гармониками, определяемые по формуле (246). Точно так же, умножая второе уравнение (39) на и интегрируя в пределах А, получим

Рассматривая при как неизвестные величины, запишем выражения (40а) и (40б) в матричной форме:

где

Это система из уравнений с неизвестными. Интересным свойством матрицы является ее разделение на четыре подматрицы, из которых две оказываются диагональными. Это свойство наводит на мысль, что выражения (40а) и (406) можно записать в следующей форме:

Получим связанную систему уравнений, в которой неизвестными являются

Матрицы и имеют порядки соответственно и задаются формулами

и

Матрицы проводимостей являются диагональными

Векторы имеют вид

Подставляя V из выражения (42а) в выражение (426), исключим V, чтобы получить уравнение только для После небольших преобразований находим

Ранг матрицы равен Число неизвестных компонент вектора V также равно Запишем уравнение в форме

Полагая уравнение (44а) можно записать в виде

Это уравнение идентично уравнению (24), выведенному для электрического поля с помощью метода моментов при использовании в качестве базиса волноводных мод. После того как найдены из выражения (42а) можно определить Преобразуя выражение (42а), можно показать, что оно совпадает с выражением (29).

Исключая из выражений (42а) и (426), можно записать уравнение только для V:

где

Выражение (45а) является системой из уравнений для неизвестных Уравнение с номером имеет вид

Сравнивая уравнения (456) и (37), можно заметить, что эти два уравнения отличаются только множителем в правой части. Это вызвано тем, что при выводе уравнения (37) падающая волна имела единичный модальный ток для волны а при выводе уравнения (456) падающая волна имела единичное модальное напряжение для той же волны. Отношение амплитуд падающих волн равно модальному импедансу Так как система линейна, это отношение оказывается просто множителем пропорциональности между двумя решениями.

Выше было показано, что метод моментов и метод сшивания гармоник идентичны при условии, что количество гармоник в разложении поля одно и то же. Вопрос о том, сколько гармоник надо брать в каждой области пространства для получения точного решения, до сих пор не решен.

Преимущества метода интегральных уравнений состоят в том, что этот метод дает ясное представление о характере вводимых приближений и за счет выбора различных базисных и весовых функций позволяет получать матричные уравнения в требуемой форме. Это особенно важно, так как в зависимости от конкретной ситуации приходится пользоваться разными системами функций.