3. ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП И МЕТОД МОМЕНТОВ

Во многих физических задачах важнее определить некоторые величины, зависящие от скалярного произведения заданной функции у и решения х уравнения (1), чем само решение х. Запишем скалярное произведение в виде

В частности, заданная функция может быть связана с падающей волной у и интересующая нас величина запишется в виде

Бели оператор К симметричен, можно вывести вариационные выражения для величин Условие симметрии можно написать с помощью следующих соотношений: для пары функций в гильбертовом пространстве

Пусть решение уравнения

т. е. в уравнении (1) у заменяется на у. Тогда симметрия оператора означает, что

Это соотношение является математической формулировкой теоремы взаимности. Используя выражение (14), умножим правую часть выражения (11) на отношение и получим

Преимущество записи выражения (11) в форме выражения (15) состоит в том, что выражение (15) является вариационным выражением для А. Это значит, что выражение (15) оказывается стационарным по отношению к малым независимым изменениям функций в окрестности их точных значений, являющихся решениями уравнений (1) и (13) соответственно. Другими словами, чтобы вычислить необходимо найти решение х из уравнения (1) или решение х из уравнения (13). В общем случае эти решения получить довольно трудно. Предположим, что каким-то способом мы нашли приближенные решения этих уравнений. Если эти решения отличаются от точных решений на малые величины порядка то вычисление А по формуле (15) дает ошибку порядка Поэтому чем точнее аппроксимируются решения, тем ближе будет А к своему точному значению. Функции, используемые для оценки величины А, часто называют пробными. Заметим, что неудачный выбор пробных функций может привести к ухудшению первоначальной оценки для А. На практике стационарные свойства выражения (15) используются для нахождения приближенных решений уравнений (1) и (13). Этот путь решения называется процедурой Релея — Ритца. После того как приближенные решения найдены, их подставляют в формулу (15) для оценки величины А.

Оказывается, что процесс получения приближенного решения на основе стационарных свойств выражения (15) эквивалентен методу моментов, т. е. применение процедуры Релея — Ритца к вариационному выражению (15) и применение метода моментов к уравнениям (1) и (13) приводят к одной и той же системе линейных алгебраических уравнений. Поэтому подстановка приближенного решения, найденного методом моментов, в формулу (15) не увеличивает точность при вычислении величины А. Ниже показано, что приближенные решения, полученные методом моментов, автоматически удовлетворяют принципу взаимности (2, 6].

Вариационное выражение (15) было впервые рассмотрено Левином и Швингером [7] и поэтому иногда называется принципом Левина — Швипгера. В частном случае, когда представляющий интерес параметр определяется по формуле (12), уравнение (13) становится идентичным уравнению (1). Вариационное выражение тогда принимает вид

Возможны и другие формы вариационных выражений. Согласно Ритцу, их можно записать в виде

и

Чтобы убедиться в том, что применение вариационного принципа и применение метода моментов ведет к одному и тому же результату, рассмотрим более простое выражение (18). Это выражение показывает, что В является функционалом от т. е. комплексное число В зависит от того, какая функция х подставляется в выражение. Пусть

Подставляя это выражение в уравнение (18), преобразуем функционал в функцию неизвестных переменных:

Так как выражение (20) является стационарным, его вариация по отношению к любой произвольной вариации в должна быть равна нулю. Таким образом,

Отсюда следует

Мы использовали метод Релея Ритца для определения неизвестных Уравнения (21) образуют систему уравнений относительно неизвестных. Из сравнения выражения (8) для случая с выражением (21) видно, что получены идентичные результаты. Следовательно, метод моментов и вариационный метод приводят к одним и тем же результатам.

Можно также начать с выражения (16) и вывести систему уравнений, основанную на стационарных свойствах этого выражения [6]. Этот подход также приводит к идентичной системе уравнений. Кроме того, вывод можно распространить на более общий случай, описываемый выражением (15). Таким образом, приближенные решения, найденные методом моментов, действительно удовлетворяют теореме взаимности независимо от того, насколько эти решения близки к точным.