7. ИТЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД

Наша основная задача состоит в том, чтобы решить операторное уравнение (1), т. е. для заданного у надо найти оператор обратный оператору К. Если обратный оператор найден, решение

уравнения (1) можно записать в виде

Вопрос о существовании обратного оператора выходит за рамки данной книги. Нахождение обратного оператора является трудной задачей и поэтому для ее решения приходится использовать приближенные методы (например, метод моментов). Кроме приближения, связанного с усечением бесконечной матрицы в методе моментов, причиной погрешности могут быть ошибки округления при обращении матрицы на ЭВМ. Однако в настоящее время ошибки округления можно свести к минимальным. Из-за ошибок, связанных с усечением бесконечной матрицы и больших затрат времени на вычисление обратной матрицы, иногда желательно использовать итерационные методы решения линейных уравнений. Перепишем уравнение (1) в виде

где единичный оператор. Предположим, что мы нашли приближенное решение Подставив это решение в правую часть уравнения (60), получим новое приближенное решение Мы надеемся, что новое решение дает лучшее приближение к точному решению, чем предыдущее, и что, повторяя процесс, в конце концов придем к точному решению. Такой процесс называется итерационным. Сходимость процесса зависит от свойств оператора Достаточные условия сходимости будут рассмотрены ниже. Предположим что в некотором смысле мало. Тогда этим слагаемым можно пренебречь и рассматривать у как приближение нулевого порядка, т. е.

Заметим, что нижний индекс обозначает число выполненных итераций. Подставляя выражение (61) в урвнение (60), получим

Продолжая процесс раз, найдем

Таким образом, итерационный процесс порождает решение в виде ряда. Если процесс продолжается бесконечно, получаем бесконечный ряд, называемый рядом Неймана. Сразу же возникает вопрос, сходится ли ряд, а если сходится, то действительно ли к точному решению? В работах (1, 2, 4] показано, что если норма оператора то итерационный процесс сходится абсолютно. Необходимо подчеркнуть, что это условие является достаточным, но не необходимым. При выполнении этого условия ряд не только сходится к точному решению, но его сходимость

не зависит от начального приближения. Конечно, чем ближе нулевое приближение к точному решению, тем быстрее сходится процесс. При использовании итерационных методов выбор начального приближения оказывается важным с точки зрения более быстрого нахождения приемлемого по точности решения. Заметим, что выражение (63) можно вывести, если переписать уравнение (60) в виде и затем формально разложить в биномиальный ряд.

Ряд Неймана можно также использовать для улучшения приближенного решения. Предположим, что приближенное решение уравнения получено решением уравнения

где обозначает -мерное вырожденное приближение оператора Здесь предполагается, что приближение для уравнения находится в подпространстве, в котором у содержимся полностью, так что Это выполняется во многих задачах для ФАР и неоднородностей в волноводах.

Если же полностью содержится в подпространстве, используемом в уравнении (64), ряд необходимо представить в виде

Переписав уравнение виде

и используя уравнение (64), найдем

где Разлагая множитель ( в биномиальный ряд, запишем ряд Неймана в виде

Для сходимости этого ряда необходимо, чтобы Это условие также является достаточным, но не необходимым. Из выражения (66) следует, что, начав с приближенного решения, можно получить решение первоначальной задачи. Этот метод особенно полезен для повышения точности уже известного приближенного решения. Заменим уравнение (1) выражением

при достаточно большом считая, что при этом получается приближенное решение с необходимой точностью. Следуя описанной выше процедуре, выразим через

где Таким образом, используя выражение (68), можно уточнить первоначальное приближенное решение.

Заметим, что при получении выражений (67) и (68) необходимо увеличить размерность (т. е. следует расширить ранг так как приближенное ядро обычно имеет меньшую размерность, чем ядра Это можно сделать разными способами. Удобно, например, левую верхнюю подматрицу расширенной матрицы приравнять первоначальной матрице а затем дополнить ее так, чтобы диагональные элементы были равны диагональным элементам К или а недиагональные элементы были равны нулю, т. е.

где элементы расширенной матрицы. Аналогично можно расширить до полагая В результате обращение расширенной матрицы будет не сложнее, чем обращение первоначальной матрицы.

Определим теперь последовательность векторов как частичную сумму ряда Неймана (66), т. е.

Каждый вектор можно представить в форме

Интересно отметить, что первая коррекция равна нулю для первых компонент

где Поэтому необходимо суммировать ряд Неймана, начиная со второго члена, чтобы получить уточнение для первых компонент приближенного решения.

Выражение (65) представляет значительный интерес, так как с его помощью можно оценить отклонение приближенного решения от точного только через оператор и приближенное решение

Возможны другие способы преобразования уравнения (1) в форму, удобную для применения итерационного процесса. Например, можно представить матрицу К в виде

Тогда уравнение (1) можно записать в виде

Это выражение пригодно для получения нового решения, если подставить в правую часть известный вектор. Для успешного применения такого процесса необходимо, чтобы определитель не был равен нулю. Итак, начиная с произвольного вектора получим

Очевидно, матрицу надо выбрать так, чтобы легко было найти обратную к ней матрицу. Достаточное условие сходимости процесса состоит в том, чтобы наибольшее собственное значение матрицы было меньше 1. Это условие оказывается также необходимым, если процесс должен сходиться независимо от первоначального приближения

Известно много способов расщепления исходной матрицы. Специальный случай называется итерационным процессом Якоби, или процессом одновременных итераций. Процесс Гаусса — Зайделя, или процесс последовательных итераций, приводит к выбору в виде

Особый способ построения расширенной матрицы указанный в соотношении (69), иногда называется процессом блочных итераций.