2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ДИСКРЕТНОГО БАЗИСА

Граничные задачи, возникающие в теории антенных решеток, можно сформулировать в виде интегральных уравнений Фредгольма первого или второго рода. Поскольку интегральные уравнения первого рода более удобны для решения этих задач, мы рассмотрим главным образом эти интегральные уравнения. Интегральное уравнение Фредгольма первого рода в операторной форме имеет вид

где К — линейный оператор, определяемый только геометрией решетки, у — известная функция, определяемая полем возбуждающего сигнала, неизвестная функция. Обычно х и у — векторные величины, тензор. Область определения оператора, т. е. систему функций, на которую данный оператор действует, будем называть пространством

(Так как мы имеем дело с интегральными операторами, то граничныо условия учитываются автоматически; в случае дифференциальных операторов при задании области определения необходимо учесть граничные условия,) Если оператор действует на функцию, он порождает новую функцию. Набор всех функций, порождаемых оператором при его действии на любой элемент в области определения оператора, будем называть пространством Свойство линейности оператора означает, что если дапы две функции и два произвольных числа то выполняется соотношение

Предположим теперь, что мы нашли каким-то образом систему линейно независимых функций, перекрывающую пространство и другую систему, перекрывающую пространство Запишем эти две системы функций в виде соответственно. Можно считать, что функции этих двух систем ортонормированы. Это не является ограничением, так как любую линейно независимую систему функций можно ортонормировать с помощью метода Грама — Шмидта.

Так как неизвестная функция х является элементом пространства то ее можно представить как линейную комбинацию функций

где неизвестные коэффициенты. Такое представление обычно содержит бесконечное число членов, если требуется найти точное решение уравнения (1). В этом случае системы функций должны быть полными в соответствующих пространствах. Для нахождения приближенных решений суммы (2) обычно берутся конечными. Система функций необязательно должна быть полной, хотя для получения верных результатов важно включить определенные элементы пространства. Это условие более подробно рассмотрено ниже. Сначала рассмотрим случай точного решения.

Подставляя выражение (2) и уравнение (1) найдем

Разность между левой и правой частями выражения (3) является пулевым элементом в пространстве Чтобы убедиться в этом, потребуем, чтобы элемент был ортогонален ко всем элементам системы, перекрывающей

или

Мы получили систему уравнений, которую удобно записать в матричной форме. Пусть квадратная матрица и вектор-столбцы а и у определены выражениями

Тогда уравнение (4) примет вид

Таким образом, интегральное уравнение свелось к системе линейных алгебраических уравнений. Эффективность решения этой системы зависит от многих факторов. Так как система содержит бесконечное число уравнений и неизвестных, то найти ее точное решение не удается, за исключением одного-двух частных случаев. Поэтому приходится ограничиться приближенным решением. Для представления неизвестной функции) берется конечное число аппроксимирующих функций, вместо выражения (2) мы полагаем

Неизвестные коэффициенты в общем случае отличаются от коэффициентов точного решения и являются функциями числа Подстановка выражения (6) в уравнение (1) дает

Теперь левая и правая части выражения (7) не равны между собой и их разность представляет ошибку решения. Для минимизации этой ошибки в пространстве, перекрываемом системой функций потребуем, чтобы обе части выражения (7) имели одинаковые проекции на систему Другими словами, разность между левой и правой частями выражения (7) должна быть ортогональна к каждому элементу системы В результате

получим систему из уравнений с неизвестными, которую снова запишем в матричной форме

где

Теперь матрица имеет конечный порядок и ее обращение приводит к решению задачи. Пусть обозначает матрицу, обратную Тогда формально решение записывается в виде

Систему функций можно записать как вектор-строку:

где индекс обозначает транспонирование.

Приближенное решение примет компактную форму:

Заметим, что систему уравнений, полученную с помощью конечного разложения (7), можно найти путем соответствующего обрыва бесконечной системы уравнений (5). Можно ожидать, что с увеличением точность приближения будет расти. В частности, если образуют полные системы функций, приближенное решение стремится к точному решению при Однако с ростом увеличиваются трудности, связанные с обращением матрицы. Выбор величины при заданной точности решения зависит от конкретной задачи.

Процесс сведения операторного уравнения к системе линейных алгебраических уравнений обычно известен как метод моментов 12, 3]. Если этот процесс называют методом Галеркина или Ритца — Галеркина. Система функций по которой разлагается неизвестная функция х, называется системой базисных функций (базисом), а система системой испытательных или весовых функций. Хотя базисные и весовые функции могут быть совершенно произвольными, их выбор играет первостепенную роль с точки зрения точности и легкости решения. На практике

успешное решение задачи может зависеть от легкости вычисления элементов матрицы, а также от обусловленности матрицы [29], влияющей на точность обращения матрицы. Хорошо обусловленную матрицу легко обратить точно, в то время как для обращения плохо обусловленной матрицы требуются специальные приемы, чтобы получить удовлетворительный результат. В общем случав при выборе базиса следует учитывать как можно больше предварительных сведений о решении задачи.

В настоящее время обращение матриц выполняется на электронных вычислительных машинах по стандартным программам. Математические вопросы обращения матриц рассмотрены в книгах по линейной алгебре.