10.1. Решение задачи методой Винера — Хопфа

Предположим, что волноводы возбуждаются волной типа ТЕМ и что в решетке созданы равномерное амплитудное и линейное фазовое распределения. (Для волны, распространяющейся в направлении оси нужно брать знак минус в формуле (59).] В этом случае можно найти точное решение задач методом Винера — Хопфа [19, 20]. Обозначим для удобства составляющие вторичного поля Ну и через соответственно. Эти составляющие должны удовлетворять волновому уравнению (56). Таким образом,

и

Обозначим через интеграл Фурье от функции Применив преобразование Фурье к левым и правым частям уравнений (60), получаем -

и

где Для сходимости интегралов Фурье предположим, что среда имеет небольшие потери (т. е. ). Такое предположение является существенным моментом в методе Винера — Хопфа. После завершения анализа потери полагаются равными нулю.

Общее решение уравнения (616) имеет вид

где неизвестные, которые требуется определить. Из уравнений (61) и (62а) находим

Следующий шаг заключается в определении неизвестных коэффициентов из граничных условий. Для периодической антенной решетки с равномерным амплитудным и линейным фазовым распределениями вторичные поля должны удовлетворять граничным условиям Флоке вида

Применяя эти условия к уравнению (626) при получаем

это выражение можно использовать для определения коэффициента через :

Подставляя этот результат в уравпепия (62а) и (626), исключаем один из неизвестных коэффициентов (например, ). После выполнения преобразований получаем

Граничные условия требуют, чтобы тангенциальная составляющая электрического поля обращалась в нуль на проводящей поверхности, а тангенциальная составляющая магнитного поля была непрерывной в области Это означает, что должны выполняться соотношения

и

Введем следующие стандартные обозначения, используемые обычно при применении метода Винера — Хопфа [19]:

и

Индексы и — обозначают, что данные выражения являются аналитичньши в верхней или нижней частях плоскости комплексного переменного у (рис. 4.14).

Рис. 4.14. Плоскость комплексного переменного у

Этот результат вытекает из теориипреобразования Фурье [19]. Применяя преобразование Фурье к граничным условиям (65) при получаем

и

где является преобразованием Фурье магнитного поля падающей волны и определяется соотношением

Используя выражения (66), находим

После небольших преобразований уравнений (67а) и (676) получаем

Это выражение является функциональным уравнением Вивера — Хопфа. Сомножитель

можно представить в виде отношения двух функций где регулярные аналитические функции, не имеющие нулей в верхней и нижней частях плоскости комплексного переменного соответственно. Подробности этой факторизации даны в приложении. Умножая правую и левую части уравнения (68) на получаем

При выводе уравнения (69) к его правой и левой частям были добавлены одинаковые слагаемые, равные второму члену в левой части уравнения (69), для устранения особенности второго слагаемого в правой части (полюс при Теперь левая часть уравнения (69) регулярна и аналитична в верхней части плоскости, а правая часть — регулярна и аналитична в нижней части плоскости. Обе части уравнения (69) имеют общую полосу аналитичности. Таким образом, каждая часть этого уравнения является аналитическим продолжением другой, и в совокупности они образуют функцию, аналитичную на всей плоскости у. Можно показать, что обе части уравнения (69) стремятся к нулю при Поэтому по теореме Лиувилля они должны

равняться пулю. Из этого условия находим

Подставляя это выражение в уравнение (67а), получаем

Используя это выражение в уравнениях (64а) и (646), находим выражения для и Искомые поля определяются путем обратных преобразований Фурье от этих функций:

При вычислении этих интегралов все пространство делят на две области — область внутри параллельных пластин и внешнюю область. Для внутренней области при контур интегрирования представляет собой полуокружность большого радиуса в верхней полуплоскости, а для внешней области при контур интегрирования (полуокружность) лежит в нижней полуплоскости (рис. 4.14). Можно показать, что при радиус полуокружностей) интегралы вдоль этих полуокружностей обращаются в нуль. Так как функции и имеют только простые полюсы, интегралы в выражении (72) равны коэффициенту умноженному на вычеты в полюсах на соответствующей полуплоскости. При исследовании функций обнаруживается, что в верхней полуплоскости полюсы находятся в точках Полюсы в нижней полуплоскости находятся в точках Хотя контур интегрирования охватывает ряд полюсов, интерес представляют полюсы, соответствующие распространяющимся типам волн. При условии что в области существует одна распространяющаяся волна, которая определяется с помощью вычета в точке Таким образом,

где

Рис. 4.15. (см. скан) Коэффициент отражения антенной решетки в анизотропной плазме.

является коэффициентом отражения. Величины

представляют собой постоянные распространения для волн с индексом во внешней области и внутри волноводов соответственно. Поле во внешней области при представляется в виде

где

является коэффициентом передачи.

Кактвидно соотношения (73а), коэффициент отражения, несмотря на геометрическую симметрию антенной решетки, не является ни четной, ни нечетной функцией управляющей фазы вследствие присутствия члена обусловленного анизотропией среды. Асимметрия проявляется, однако, только в фазе коэффициента отражения

Коэффициент отражения зависит от расстояниямежду элементами и угла сканирования и, кроме того, от параметров среды. На рис. 4.15 приведена зависимость коэффициента отражения от управляющей фазы при Величина играет роль параметра. Так как влияет на постоянную распространения следовательно, на электрическое расстояние между элементами диапазон управляющих фаз, при которых существует излучение, также зависит от Отметим, что в отличие от случая аналогичной антенной решетки в свободном пространстве коэффициент отражения решетки, помещенной в плазму, не обращается в нуль при положении луча, перпендикулярном плоскости раскрыва.