ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ И МЕТОД МОМЕНТОВ

Чтобы доказать, что решение, полученное методом Ритца — Галеркина, автоматически удовлетворяет закону сохранения энергии, рассмотрим уравнение (22) для электрического поля в

апертуре:

Напомним, что уравнение выведено для случая возбуждения решетки типом волны

Для перехода от уравнения (22) к системе линейных алгебраических уравнений применим метод моментов с системой базисных функций и с системой весовых функций В результате получим

где

неизвестные коэффициенты разложения. Заметим, что при получении системы введено приближенное выражение для ядра путем обрыва двух рядов при значениях Это эквивалентно использованию типов волн в волноводе и гармоник Флоке в свободном пространстве при применении метода сшивания гармоник. Таким образом, электрическое поле в апертуре представляется в виде

и

Индексы соответственно обозначают поле в волноводе и в свободном пространстве. Магнитные поля и На определяются выражениями

Из выражений и можно найти неизвестные модальные функции с помощью коэффициентов а

Мощность, переносимую в прямом и обратном направлении к апертуре, можно оценить с помощью составляющей вектора Пойнтинга. Из условия непрерывности тангенциальных составляющих электрического и магнитного полей в апертуре имеем

Используя выражения найдем

Из сравнения выражений и вытекает, что выражение является квадратичной формой, полученной из выражения

Таким образом, мы показали, что выбор ведет к сохранению энергии. Соотношение взаимности при таком выборе не удовлетворяется при комплексных значениях Однако в ряде задач используются действительные значения и тогда приближенное решение по методу Ритца — алеркина удовлетворяет как принципу взаимности, так и закону сохранения энергии.