4. ВЫБОР БАЗИСА

4.1. Выбор последовательности гармоник поля

Рассмотрим интегральные уравнения, выведенные в гл. 2, для бесконечных решеток из волноводов. Были получены два интегральных уравнения Фредгольма первого рода: одно — для тангенциальной составляющей электрического поля в апертуре решетки, другое — для тангенциальной составляющей магнитного поля. Ядра этих интегральных уравнении состоят из двух бесконечных сумм; одна сумма описывает вклад типов волн в волноводе, другая — вклад периодических пространственных гармоник (гармоник Флоке) во внешнем пространстве. Типы волн в волноводе обычно обозначаются тремя символами; первый указывает тип волны или а два других порядок типа волны. Хотя имеется бесконечный набор волн как типа так и типа можно переобозначить типы волн с помощью только одного символа. Это упростит сведение интегрального уравнения к системе линейных алгебраических уравнений и решение этой системы.

Поскольку при нахождении приближенного решения необходимо взять лишь конечное число уравнений в бесконечной системе, важно так расставить типы волн по порядку, чтобы все существенные из них попали в рассматриваемую конечную систему уравнений. В общем случае не очевидно, какие моды существенны, а какие нет. В задачах анализа ФАР обычно вклад в поле излучения дают низшие типы волн. Из физических соображений следует, что связь между типами волн с близкими по значению достоянными распространения сильнее, чем связь между типами волн с сильно отличающимися постоянными распространения. Поэтому полезно расположить типы волп в порядке возрастания постоянных распространения (по абсолютной величине) в направлении оси Необходимо учесть возможные случаи вырождения типов волн, когда одной постоянной распространения соответствуют несколько типов волн с разной поляризацией. Подобный случай рассмотрен в гл. 7.

Пусть система типов волн в волноводе, их модальные проводимости, а система пространственных гармоник внешней области и их модальные проводимости. Интегральное уравнение для неизвестного электрического поля в апертуре решетки, возбуждаемой типом волны имеет вид

Заметим, что интегрирование осуществляется в пределах апертуры А и уравнение справедливо только в апертуре волновода. В этом отличие от интегрального уравнения для магнитного поля, которое справедливо на всей едипичной ячейке решетки.

С помощью метода моментов от интегрального уравнения можно перейти к системе линейных алгебраических уравнений [8, 9). Хотя выбор системы базисных функций произволен, при разумном выборе базиса можно получить ряд преимуществ. В случае уравнения (22) выбор в качестве базиса системы волн в волноводе особенно предпочтителен по двум причинам. Во-первых, эта система функций удовлетворяет граничным условиям для на стенках волновода. Можно предположить, что удастся получить весьма точное решение с меньшим числом функций, чем в случае базисных функций, не удовлетворяющих этим граничным условиям. Во-вторых, из-за того что сами типы волн в волноводе присутствуют в ядре, их ортогональность позволит значительно упростить вычисление элементов матрицы. Более того, волноводные моды во многих случаях интегрируются вместе с гармониками Флоке в замкнутой форме. Это дает выигрыш при вычислениях.

Пусть

Штрихи обозначают приближенные значения амплитуд типов волн в волноводе.

Подставляя выражение (23) в уравнение (22) и вычисляя моменты функций найдем

В этих уравнениях

где — символ Кропекера, равный 1 при и равный О при Коэффициенты

называются коэффициентами связи между гармониками. Эти коэффициенты отличаются от коэффициентов связи между элементами решетки. Выражение (24) представляет собой систему из уравнений с неизвестными

Можно видеть, что модальные проводимости для внутренней области (волноводов) появляются только в диагональных элементах в то время как модальные проводимости для внешней области встречаются во всех элементах.

Удобно записать уравнения (24) в матричной форме

где

Решение уравнения (25), полученное методом обращения матрицы, имеет вид

где элементы обратной матрицы Решения имеют смысл модальных напряжения различных типов волн в волноводе. Электрическое поле в апертуре приближенно находится как линейная комбинация этих типов волн по формуле (23). Коэффициент отражения падающей волны определяется из соотношений

Коэффициенты передачи в другие типы волн в волноводе после соответствующей нормировки (матрица рассеяния унитарна при отсутствии потерь) вычисляются по формуле

Для вычисления коэффициента передачи в свободное пространство используем условие непрерывности тангенциальной составляющей поля в апертуре А

Знак приближенного равенства используется потому, что для описания поля берется конечное число типов волн. Из

ортонормироваености системы функций получаем

Таким образом, пормированный коэффициент передачи в пространственную гармонику с номером равен

Так как только распространяющиеся типы воли в свободном пространстве могут переносить энергию в дальнюю зону, лишь эти пространственные гармоники важны для изучения свойств ФАР. Для вычисления амплитуд этих гармоник можно воспользоваться формулой (29) при достаточно больших значениях N.

Интегральное уравнение для приемной при падении волны, соответствующей гармонике имеет вид

С помощью описанного выше приема уравнение (31) можно преобразовать в систему линейных алгебраических уравнений

или в матричной форме

где

Заметим, что изменение падающей волны меняет только свободный член уравнения. Ядро уравнения полностью определяется геометрией системы и не зависит от падающей волны. Решение уравнения (32а) можно формально записать в виде

или через компоненты

Коэффициент отражения пространственной гармоники можно найти, вычислив модальное напряжение этой гармоники с помощью выражения (29). Таким образом,

Коэффициенты передачи определяются по формулам, аналогичным формулам (27а) и (30).

Теперь рассмотрим интегральное уравнение для тангенциальной составляющей магнитного поля (вывод см. в гл. 2), Сначала возьмем случай, когда ФАР работает в режиме передачи. Интегральное уравнение будет иметь вид

Это уравнение отличается от уравнения (22). В ядре присутствуют модальные сопротивления вместо проводимостей, что изменяет сходимость ряда. Кроме того, область интегрирования простирается на всю единичную ячейку решетки в отличие от области в уравнении (22), охватывающей только раскрыв волновода.

Для сведения уравнения (35) к системе линейных алгебраических уравнений положим

В качестве базиса взяты функции а не потому что система определена только в области А, в то время как определена в Ясно, что система непригодна, если только не совпадают.

Подставляя выражение (30) в уравнепие (35) и вычасляя моменты относительно функций получим следующую систему уравнений:

где

с коэффициентами заданными формулой (246). Система (37) содержит М, уравнений с М неизвестными Элементы матрицы образованы из модальных сопротивлений и рассмотренных выше

коэффициентов связи между гармониками. Напомним, что в уравнениях для электрического поля в элементы матрицы входили модальные проводимости. Важно, отметить, что модальные сопротивления внешнего пространства присутствуют только в диагональных элементах матрицы, а модальные сопротивления внутренней области — во всех элементах.

Обращая матрицу системы (37), найдем амплитуды пространственных гармоник (модальные токи) тангенциального магнитного поля. Амплитуды типов волн в волноводе можно определить из условия непрерывности [выражение, аналогичное формуле (28)]. В результате получим

После вычисления амплитуд гармоник можно найти коэффициенты отражения и передачи.

Элементы матрицы выражений (24а) и (37а) содержат бесконечные суммы, получающиеся из произведений модальных проводимостей (или сопротивлений) и коэффициентов связи между гармониками. Можно показать, что эти суммы являются сходящимися рядами по крайней мере для решеток из прямоугольных и круглых волноводов, для которых известны выражения для в явном виде. Однако суммирование рядов с точностью до пяти и более значащих цифр требует учета многих членов. Как мы увидим ниже, это эквивалентно учету большего числа гармоник в одной из областей. Кроме того, для большинства ФАР размер апертуры элемента сравним с размером единичной ячейки. Это позволяет ожидать, что для описания доля в плоскости решетки требуется примерно одно и то же число гармоник независимо от того, из какой области они берутся. На этом основании суммы в элементах матрицы можно оборвать на номере, сравнимом с порядком матрицы, Например, в выражении (24а) суммированиеможно прекратить при где Таким же образом в выражении (37а) сумма вычисляется до где Очевидно, при этом в решение вводится новый источникприближения. Однако это приближение незначительно ухудшает точность решения.

Если раскрыв волновода и единичная ячейка имеют существенно различные площади, число используемых гармоник в каждой из областей сильно зависит от геометрических факторов. Интересно отметить, что при использовании конечного числа гармоник, папример типов волн в волноводе и пространственных гармоник во внешней области, решения, полученные из уравнения для электрического поля и полученные из уравнения для магнитного поля, совпадают. В частном случае решения системы (24) с

матричными элементами (24а), суммируемыми до и решения системы (37) с матричными элементами (37а), суммируемыми до одинаковы.