ПРИЛОЖЕНИЕ 2. ПОСТРОЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ В МЕТОДЕ ВЫЧЕТОВ

Функция выбирается в следующей форме:

где целая функция, определяемая ниже. При выборе распределение нулей иполюсов принимается в соответствии с условиями 1 и 2, указанными в разд. 6. Экспоненциальные множители в бесконечных произведениях введены для обеспечения сходимости. Присутствие необходимо для выполнения условия 3, т. е. при Для определения функционального вида полезно заметить что для больших

Следовательно, в окрестности бесконечно удаленной точки отличается на ограниченную функцию от функции

где гамма-функция. Итак, для определения поведения функции при больших необходимо только исследовать изменение функции при Если стремится к бесконечности, первый член формулы Стирлинга для гамма-функции имеет вид

Подстановка асимптотического выражения для гамма-функции в выражение приводит к следующей асимптотической формуле:

Для обеспечения алгебраического роста на бесконечности функцию выбираем равной где К — константа, удовлетворяющая условию 4. При таком выборе функции стремятся к при Можно показать, что такое поведение поля удовлетворяет условию на кромке [27]. Функция теперь имеет вид

Из условия 4

Таким образом,

Используя это выражение для К, найдем

Зная функцию неизвестные коэффициенты можно найти с помощью выражения (58). Затем с помощью выражения (55а) можно определить модальные коэффициенты в разложении неизвестного поля в апертуре по нормальным типам волн в волноводе.

Можно также вычислить модальные коэффициенты в разложении поля по гармоникам Флоке. Для этого воспользуемся непрерывностью тангенциальных составляющих поля в апертуре

Умножая выражения на интегрируя по апертуре волновода и учитывая ортонормиров анность

функций найдем

Комбинируя эти уравнения, получим -

Подставляя сюда выражения для после некоторых упрощений получим

Сравнивая выражение в квадратных скобках с выражениями (57) и (58), находим, что это выражение можно оценить с помощью интеграла

точка является полюсом подынтегральной функции. Устремляя контур в бесконечность, с помощью теоремы Копш о вычетах найдем

Таким образом, можно определить с помощью той же аналитической функции

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)