5. ПРОВЕРКА ПРАВИЛЬНОСТИ РЕШЕНИЯ

Численное решение физических задач часто связано с рядом математических приближений. Перевод математических формул в вычислительные алгоритмы иногда оказывается весьма сложным. Кроме того, вычислительные машины являются пассивными устройствами, следующими лишь указаниям программиста. Все это приводит к необходимости иметь методы контроля, вычислений, чтобы иметь уверенность в корректности и точности найденных решений. Для этой цели рекомендуется применять следующие методы [8, 19]: принцип взаимности [6], закон сохранения энергии 121], проверку сходимости, использование различных базисов [19], сравнение с [результатами других методов [14], выполнение граничных условии [11, 17], экспериментальное подтверждение

Ниже мы обсудим достоинства и недостатки каждого метода контроля. Следует отметить, что очень часто вычислительные программы составляются для широкого диапазона исходных параметров. В этом одно из главных преимуществ использования вычислительных машин. Методы же контроля применимы лишь в ограниченной области исходных параметров, поэтому никакой метод контроля не может дать полной уверенности в правильности решения и следует использовать несколько методов проверки, чтобы удостовериться в истинности результатов.

5.1. Принцип взаимности

Как было показано, решение системы линейных уравнений, полученной из. интегрального уравнения, точно удовлетворяет принципу взаимности независимо оттого, насколько приближенным является это решение. Следовательно, взаимность является необходимым, но не достаточным условием, которому должно удовлетворять найденное решение. Тем не менее соотношение взаимности оказывается полезным средством коптроля на ранних стадиях вычислений как грубый критерий адекватности алгоритма и допустимости ошибок округления. Такой контроль выполняется сравнительно легко и поэтому является желательным.

5.2. Закон сохранения энергии

По закону сохранения энергия, падающая на пассивное рассеивающее устройство, должна равняться полной энергии, переносимой отраженными волнами. В ФАР мощность возбуждающего типа волны превращается в мощность различных распространяющихся волп, существующих внутри и вне элементов решетки. На первый взгляд может показаться, что численное решение,

удовлетворяющее закону сохранения энергии, является верным. Однако, из-за того что при расчете мощности принимаются во внимание только амплитуды модальных коэффициентов (без учета фазовых соотношений), это требование оказывается недостаточно строгим. Существует много путей распределения мощности падающей волны по рассеянным волнам, в то время как полная мощность будет сохраняться неизменной. Это означает, что мощности отдельных типов волн могут быть рассчитаны неверно, а сумма этих мощностей все же будет равна мощности падающей волны.

Достоинство метода Ритца — Галеркина состоит в том, что в решениях автоматически выполняется закон сохранения энергии. Доказательство этого положения приведено в приложении 1 к данной главе. Как и принцип взаимности, закон сохранения энергии может служить лишь в качестве необходимого контроля грубых ошибок в программе. Его нельзя использовать как меру корректности и точности решения.

5.3. Проверка сходимости

При построении приближенного решения интегрального уравнения с помощью конечного числа членов в разложении неизвестной функции первый шаг проверки решения состоит в определении числа членов, которое необходимо для удовлетворительной точности. Для этого систематически и постепенно увеличивается число гармоник и при этом проверяется сходимость решения. Решение интегрального уравнения обычно дает распределение поля (или токов) в апертуре. Хотя распределение поля представляет большой интерес, для инженерных целей важнее другие связанные с распределением поля в апертуре величины, такие, как входное сопротивление и поперечное сечение рассеяния. Эти величины можно найти как скалярное произведение или результат усреднения решений. Таким образом, сходимость этих средних величин часто представляет основной интерес.

Характер сходимости решений или средних величин от решений зависит от свойств оператора и базиса приближенного решения. В задачах, где фигурируют волны только одного типа или сходимость обычно оказывается монотонной. Это связано с тем, что модальные сопротивления (или проводимости) высших типов волн являются монотонными функциями индекса моды. В более общих случаях, когда имеются и ТМ-волны, сходимость обычно представляется осциллирующей функцией (но с уменьшающейся амплитудой). Напомним, что с увеличением числа учитываемых гармоник растет порядок матрицы. В результате сильно увеличиваются объем используемой памяти ЭВМ и затраты машинного времени. Число операций, необходимое для обращения матрицы размером пропорционально Таким

образом, увеличение порядка обращаемой матрицы может привести к большим ошибкам округления.

Для проверки рекомендуется брать диапазон параметров задачи как можно шире. Число гармоник базиса должно увеличиваться до тех пор, пока рост этого числа будет вызывать малые изменения интересующих величин. Степень допустимых изменений определяется желаемой точностью (это могут быть доли процента или несколько процентов). На практике часто требуется включить в рассмотрение большое число параметров задачи. Тогда время вычислений становится важным фактором. Для инженерных задач достаточна точность в несколько процентов. Поэтому целесообразно выбирать порядок матрицы исходя из инженерной точности. Однако для уверенности в том, что эта точность достигается равномерно в диапазоне параметров задачи, следует провести выборочный контроль вычислений. Если это возможно, то надо уделить особое внимание тем значениям параметров, при которых наблюдаются резкие изменения расчетных результатов.

5.4. Использование различных базисов

Как говорилось выше, скорость сходимости решения зависит от выбранной системы базисных функций. Если эта система включает как можно больше независимых свойств решения, можно надеяться, что для получения хорошего результата потребуется небольшое число функций. С точки зрения выяснения правильности решения надо взять два существенно разных базиса и, если результаты будут близки, можно считать, что оба приближения удовлетворительны. Чем сильнее различаются базисы, тем больше вероятность правильности решения при совпадении результатов. Единственным недостатком этого способа контроля является необходимость дважды решить задачу при выборе алгоритма и составлении программы, что увеличивает время, затрачиваемое на решение задачи.

5.5. Сравнение с результатами других методов

В ряде случаев рассматриваемая задача для определенного набора параметров может быть эквивалентна задаче, для которой известны точные решения [15, 24, 25]. В качестве примера рассмотрим решетку из параллельных пластин, сканирующую в плоскости Если угол сканирования равен нулю, задачу методом зеркальных изображений можно, очевидно, свести задаче о стыке двух волноводов из параллельных пластин, которая решается разными методами [28]. Следовательно, имеется много результатов для сравнения. Аналогично при сканировании той же решетки в плоскости при значении управляющей фазы задача

сводится к задаче о скачкообразном расширении плоскопараллельного волновода в плоскости Такая задача также решена разными методами [28] и пригодна для сравнения. Другие случаи, допускающие сравнительный контроль, относятся к решеткам из волноводов с диэлектриком. При диэлектрической проницаемости, равной 1, должны вновь получаться результаты для решетки без диэлектрика.

Задачу рассеяния электромагнитных волн во внешней области можно решать так, что рассеивающие тела произвольной формы будут рассматриваться в единой формулировке задачи. Форма рассеивающего тела будет вводиться в программу как исходный параметр. Для ряда тел (таких, как цилиндр, сфера, сфероид) известны точные аналитические решепия. Эти решения могут играть роль тестов для численных решений. Итак, специальный подбор начальных данных позволяет иногда сравнивать решения, полученные разными методами. В таких случаях можно сделать независимую проверку результатов для этих особых начальных данных.

5.6. Выполнение граничных условий

В задачах анализа ФАР и в задачах о неоднородностях в волноводах можно вывести интегральные уравнения для тангенциальных составляющих электрического и магнитного поля. Решение одного из уравнений позволяет найти одну неизвестную функцию. Другая неизвестная функция определяется с помощью уравнений Максвелла. Решения для двух областей пространства должны удовлетворять условию непрерывности на границе раздела. Степень точности, с которой удовлетворяется условие непрерывности, может служить критерием правильности решения [11, 17]. В общем случае трудно найти прямую связь между степенью удовлетворения граничного условия и точностью вычисления какой-нибудь характеристики решетки, например коэффициента отражения. Поэтому ценность этого способа проверки правильности решения обычно невысока.

5.7. Экспериментальное подтверждение

Прямым методом проверки является сравнение расчетных и экспериментальных результатов. Для задач рассеяния можно изготовить отражающие объекты требуемой формы. В случае анализа бесконечных ФАР можно использовать волноводные модели, однако для ограниченного числа значений углов сканирования. Это дает возможность лишь для выборочной проверки.

Другой путь состоит в том, чтобы изготовить решетку больших размеров и измерить взаимную связь между элементами и диаграмму направленности элемента в решетке. Затем по измеренным

значениям коэффициентов взаимной связи на основе линейной суперпозиции можно рассчитать на ЭВМ зависимость коэффициентов отражения от угла сканирования. При таком моделировании диапазон углов сканирования не ограничен. В результате получаем смешанный расчетно-экспериментальный способ проверки решения, который обходится гораздо дешевле чем экспериментальное исследование большой ФАР.

5.8. Другие способы контроля

При некоторых условиях одну и ту же ФАР можно рассматривать как решетку с прямоугольной сеткой расположения элементов и как решетку с треугольной сеткой расположения элементов. Примеры таких ситуаций приведены в гл. 5 и 7. В этих условиях решения для двух математических моделей одной решётки должны давать одинаковые результаты. Это факт можно использовать для контроля вычислительных алгоритмов.

Для целей контроля можно использовать симметрию геометрии решетки. Допустим, в определенных плоскостях сканирования, например в и оскостях, геометрия решетки такова, что определенный тип волны не возбуждается. Подтверждение этого факта при численном решении может служить некоторым указанием на правильность алгоритма и программы.