2.5. Другие формы интегральных уравнений и вариационных выражений

Интегральные уравнения Фредгольма первого рода, к которым относятся уравнения (44) и (55), не являются единственным типом интегральных уравнений, который можно использовать для анализа рассматриваемой антенной решетки. Хотя решения и единственны, уравнения для них могут иметь различную форму. Например, аналитические преобразования уравнения (44), использующие свойство ортонормированпости волноводных типов

волн и пространственных гармоник могут привести к другим формам интегральных уравнений, которые, по-видимому, будут иметь иные физические интерпретации и, возможно, окажутся более удачными для применения ряда приближенных методов решения.

Особенно полезным общим типом интегральных уравнений являются интегральные уравнения Фредгольма второго рода. Интегральные уравнения этого типа наиболее подходят для итерационных методов решения.

Рассмотрим для иллюстрации уравнение Фредгольма первого рода (44) с одной падающей волной для Воспользовавшись оператором идентичности (34) или (35), можно написать

Сложив это уравнение с уравнением (44), получим относительно уравнение Фредгольма второго рода [17]:

Уравнение (93) имеет форму, удобную для итерационного решения [21]; в частности, решение можно получить методом итераций Неймана [6]. Применяя операторное обозначение, уравнение (93) можно записать в виде

где едипичный оператор [см., например, выражение (35)], интегральный оператор уравнения (93):

Формально решение уравнения (94) можно записать следующим образом [21, 23]:

Сходимость ряда, однако, здесь не гарантируется. В данной главе этот метод решения не рассматривается, так как наша цель — обоснование выбора интегральной формы (93).

Другой важный вид преобразований уравнения (44) связан с переводом этого интегрального уравнения в дискретную форму в смысле гильбертова пространства [6]. Например, неизвестную функцию точное решение уравнения (44) — можно определить как континуум значений, заданных на совокупности точек в области А. Если известна дискретная, но бесконечная система значений и в выражениях (26) и (28), то функция полностью определена. Полезность интегрального уравнения состоит даже не в том, что оно записано в координатах а скорее в том, что оно содержит в компактной форме все граничные условия и может служить отправной точкой для получения различных эквивалентных представлений. Эквивалентность можно понимать, в частности, в том смысле, что если непрерывная координата и искомая функция, то дискретная координата, а дискретный эквивалент

Преобразование уравнений (44), (55) и (93) в эквивалентную дискретную форму оказывается в особенности полезным, когда используется конечная дискретная аппроксимация по методу Ритца или по методу Галеркина [213 (см. также гл. 3).