2.2.2 Конечная решетка, сканирующая в Н-плоскости.

Анализ конечной решетки из параллельных пластип, сканирующей в -плоскости [38, 393, представляет интерес как с точки зрения математического вывода соответствующего интегрального уравнения, так и с точки зрения получения некоторых новых результатов.

Рис. 8.33. Геометрическая конфигурация конечной решетки из иараллелышх пластин, сканирующей в -плоскости.

Геометрическая конфигурация решетки в этой задаче по существу такая же, как и при сканировании в -плоскости, исключением того, что в соответствии с результатами гл. 4 и 5 сканирование происходит в плоскости кроме того, допускается более общая схема (рис. 8.33). Волноводы возбуждаются ТЕ-волной низшего порядка поэтому падающее и рассеянное поля представляют собой ТЕ-волны и инвариантны по отношению к координате у. Таким образом, единственными компонентами поля для решетки конечных размеров являются

При выводе уравнения для тангенциальных нолей в плоскости в качестве неизвестных функций можно взять или Основное различие в поведении этих полей состоит в том, что вне области Другими словами, решение для надо искать по бесконечному интервалу. Эта задача не такая уж трудная, как может показаться с первого взгляда. Решение для определяется методом моментов:

в области больших аппроксимируется известной функцией (за исключением неизвестных комплексных постоянных). Так, например, можно аппроксимировать следующим образом:

где конечная область выбрана достаточно большой. Асимптотическое поведение типа будет рассмотрено ниже. Фукции могут быть кусочно-постоянными или; функциями другого типа, линейно независимыми и быстро сходящимися на данном конечном интервале (остальные ограничения на выбор базисных функций рассмотрены нише). При таком представлении имеется неизвестных коэффициентов.

Решение для находится непосредственно методом моментов (только на апертуре А). Однако при выводе интегрального уравнения для в -плоскости сканирования возникают проблемы сходимости, требующие особого внимания при получении численного решения. Эти проблемы связаны с необходимостью включения ТЕ-волн в решение для Они возникают в любой задаче, в которой определяется тангенциальное поле и в которой для представления этого требуется бесконечный континуум или некоторое дискретное число типов волп. Проблема сходимости возникает при представлении как во внешней так и во внутренней области.

Как и в случае сканирования в -плоскости (разд. 2.2.1), поля во внешней области можно выразить через поле в апертуре с помощью спектрального представления или с помощью функции Грина. Спектральное представление приводит к представлению через функцию Грина. Мы воспользуемся спектральным представлением, чтобы выявить аналогию с представлением в виде дискретного спектра для случая бесконечной решетки.

В предыдущем разд. 2.2.1 показано, что электрическое поле можно представить в виде

При это уравнение принимает вид

Используя уравнение Максвелла, находим выражение для магнитного поля

В частности, при получаем

По аналогии с формулой дискретного спектра для бесконечных решеток выражение (46) представляет собой сумму вкладов континуума собственных функций [см. выражение (29)], а континуум модальных проводимостей ТЕ-типа описывается выражением

Особый вид модальных проводимостей ТЕ-типа влияет на сходимость выражения (46а) при изменении порядка интегрирования. [Ниже показано, что та же трудность существует и в случае представления для внутренней области с помощью дискретного спектра собственных функций.] Изменение порядка интегрирования в выражении (32) приводит (как мы видели) к обсуждению специальных математических вопросов, выходящих за рамки данной книги. Попытка проинтегрировать выражение (46а) сначала по приведет к еще более серьезным проблемам сходимости для этого интеграла.

Тем не менее попытаемся изменить порядок интегрирования в выражении (46а), чтобы, во-первых, представить конечное интегральное уравнение в более обычной форме и, во-вторых, выполнить одно интегрирование в замкнутом виде, если это возмояшо [как, например, в выражении (32)]. Вводя операцию дифференцирования

найдем, что можно использовать выражение (35) и привести уравнение (46а) к виду

или

Операцию дифференцирования в выражениях (49) и (50) нельзя ввести в обычном смысле под знак интеграла

Аналогичные проблемы сходимости возникают при попытке представить во внутренней области Поля внутри волноводов удобно описывать при помощи обычных волноводных типов волн. Пусть означают соответственно ортогональную модальную функцию и модальную проводимость волновода. Эти модальные функции определяются так, что они равны обычным модальным функциям при а в остальных точках равны нулю. Теперь можно записать тангенциальные поля для волновода в виде

и

где мы предположили, что в волноводе падающей является волна основного типа в данном случае), имеющая модальное напряжение коэффициент отражения этой волны обозначен Используя соотношения ортонормированности между модальными функциями, находим неизвестные модальные напряжения, выралгенныс через поле в апертуре:

и

— для основной волны.

Подставляя выражение (53) в выражение (52) для получаем

где постоянные распространения волны в волноводе, а ширина волновода. При выводе выражения (54) было использовано соотношение

для изменсиия порядка интегрирования и суммирования (это позволило избежать появления расходящегося интеграла). Рассмотренная операция аналогична операции, выполнеппой в выражении (48). Удовлетворяя граничным условиям для по всем апертурам и используя выражение (49) и (54), получаем

Это выражение представляет собой интегродифференциальное уравнение для решетки из волноводов без диэлектрика, когда волновод возбуждается модальным напряжением Аналогично можно вывести это уравнение для решетки, волноводы которой содержат диэлектрические вставки. В этом случае изменяются только проводимости в уравнении (55) так, чтобы свободный член в левой части уравнения содержал проводимости вида

а внутренние, или волноводные, проводимости в правой части уравнения становились равными

где

Вопрос о сходимости для уравнения (55) полностью не будет решен, даже если сохранится порядок интегрирования и дифференцирования. Этот вопрос возникает при попытке решения уравнения (55) методом моментов. Те же трудности существуют как для внутренней области интегрирования [дискретной части спектра ядра интеграла (55)], так и для внешней (непрерывной части ядра).

Отметим, что обе части ядра (55) имеют логарифмические особенности при Это тот же тип особенности, который имели обе части ядра интегрального уравнения при сканировании в -плоскости [выражение (37)].

При сканировании в -плоскости выражение имеет особенность на краях апертуры, что является следствием граничных условий на краях. При сканировапии в -плоскости не имеет особенностей, за исключением второй производной от по х на краях апертуры, т. е. на краях, по разрывна, а имеет особенность на краях [так как

на краях сингулярна) (рис. 8.34). Такая гладкость в -плоскости сканирования обеспечивает существование (или сходимость) правой части уравнения (55).

Так, например, из уравнения (54а) следует, что если приближенное решение, выбранное для имеет много особых точек и члены имеют предел

т. е. независимы от при больших то

Другими словами, правая часть уравнения (55) в этом случае имела бы характер второй производной логарифмической особенности.

Рис. 8.34. Попе на краю решетки при сканировании в -плоскости.

Однако это несовместимо с аналитическим поведением падающего поля — левой частью уравнения (55).

Таким образом, при любом приближенном методе решения необходимо обеспечить, чтобы была достаточно гладкой функцией, такой, чтобы выражение

сходилось равномерно для всех Чем выше «гладкость» функции тем быстрее будет сходиться ряд, представляющий собой разложение по Например, если аппроксимируется последовательностью импульсов (рис. 8.35, а), то выражение (58) будет расходиться, т. е. будет иметь особенность при некотором х.

Рис. 8.35. Приближенные решения для поля

Если интегрирование осуществляется по формуле трапеции (рис. 8.35, б) (или же по формуле Симпсона, или по формулам более высокого порядка), то аппроксимирующая функция для будет иметь ту же гладкость (или максимальный порядок ограниченной производной), что и истинная функция (рис, 8.34). В этом случае выражение (58) будет сходиться.

Аналогичные вопросы возникают и при интегрировании непрерывной части ядра в выражении (55). Это легко показать, получив в спектральной форме [выражение (34)] и рассматривая зависимость от непрерывного модального индекса

Важно заметить, что проблема сходимости и соответствующий подход к ней путем выбора приближений для поля в апертуре в равной степени характерны для задач о плоских решетках общего типа (независимо от того, из каких элементов собрана решетка).

Представляют интерес численные решения уравнения (55), найденные для случая, когда один или большее число элементов расположены в плоском экране (рис. 8.33), поскольку характеристики сканирования в и -плоскостях обладают различными свойствами. Сначала рассмотрим кривые коэффициента отражения в случае, когда в плоском экране расположен только один волновод возбуждаемый основным типом волны (рис. 8.36). Величина диэлектрической проницаемости выбрана так, чтобы третья гармоника распространялась в диэлектрике [вторая гармоника подавляется вследствие условий симметрии] и быстро затухала в не заполненной диэлектриком части волновода.

Приведенная зависимость коэффициента отражения от похожа на типичную кривую стоячей волны во всей

Рис. 8.36. (см. скан) Коэффициент отражения волновода с диэлектрической вставкой при сканировании в

рассматриваемой области значений за исключением окрестностей точек равных 0,54 и 1,31, в которых появляются резкие выбросы. Изменение коэффициента отражения вблизи этих точек более детально показано на рис. 8.37.

Максимумы (или минимумы) коэффициента отражения отстоят друг от друга на одинаковых расстояниях, определяемых величиной где постоянная распространения гармоники в волноводе с диэлектрической вставкой. Расстояние между двумя выбросами можно найти из уравнения

Подобное изменение коэффициента отражения дозволяет предполагать, что для большинства значений толщины

Рис. 8,37. (см. скан) Особенности зависимости от

диэлектрикеской вставки третья гармоника возбуждается слабо, так что сопротивление излучения волновода определяется главным образом основной гармоникой. Только при некотором значении толщины вставки третья гармоника возбуждается сильно и влияет на коэффициент отражения осповпой гармоники. На рис. 8.38 приведены значения модального коэффициента третьей гармоники в зависимости от

После того как получоно решение для можно найти магнитное поле во внешней области (з 0), в частности диаграммы паправлеппости в дальней зоне, которые можно определить из выражения (50), используя асимптотическое выражение для функции Ганкеля при больших значениях аргумента. Итак, находим

и

где характеристическая проводимость свободного пространства.

Нормируя найденное выражение и строя приближенное решение по методу моментов

получаем выражение для нормированного поля излучения в дальней зоне (?):

Отметим, что выражение (60), в котором модальные функции служат базисом, удовлетворяет критериям гладкости, выбранным выше для приближенных решений

Рис. 8.38. Зависимость модального коэффициента третьей гармоники от

Это обычно выполняется для всех волноводных решеток.

На рис. 8.39, а приведены нормированные диаграммы излучения при для нескольких значений толщины диэлектрических вставок. Как видно из кривых, в диаграммах отсутствуют резкие изменения, даже когда используемые параметры допускают возможность резких выбросов в кривых коэффициент та отражения. Однако при некоторых значениях параметров наблюдаются провалы (рис. 8.39, б). Найденное в работе 114]

соотношение между диаграммой направленности одного возбужденного элемента и коэффициентом отражения, очевидно, является свойством только больших или беек он очных решеток.

Рис. 8.39. (см. скан) Нормированные диаграммы направленности волновода с диэлектрическими вставками при сканировании в -плоскости.

Рассмотрим теперь некоторые численные результаты, получен из выражения (55) для двух идентичных волноводов (рис. 8.33). Сначала исслодуем связь между двумя волноводами (рис. 8.40), содержащими диэлектрических вставок (возбуждается только

один волновод, В общем случае коэффициент связи между двумя пустыми волноводами слабее при сканировании в -плоскости, чем при сканировании в -плоскости. Действительно, при достаточно больших расстояниях между элементами коэффициент взаимной связи р -плоскости пропорционален тогда как в -плоскости он асимптотически пропорционален Эти соотношения остаются верными и для волноводов с диэлектрическими вставками различной толщины (рис. 8.41).

Рис. 8.40. Зависимость коэффициента взаимной связи двух пустых волноводов от расстояния между ними сканировании в -плоскости.

После некоторых начальных (для малых расстояний между волноводами) осцилляций, наблюдающихся при определенных критических значениях частот, величина коэффициента связи и в этом случае уменьшается асимптотически пропорционально

Закон изменения коэффициента связи в -плоскости сканирования можно объяснить как следствие того, что тангенциальное электрическое поле в апертуре в соответствии с принципом Гюйгенса 141] всегда можпо заменить магнитными диполями

над металлической поверхностью. Если таким образом заменим поле в апертуре, показанной на рис. 8.33, то получим конечную область ориентированных по х магнитных диполей, излучающих на плоском идеально проводящем экране. Хорошо известно, что такие диполи (как и электрические) не излучают в направлении их оси. Отсюда следует, что поле в дальней зоне в этом направлении

будет затухать пропорционально следующему члену соответствующего асимптотического разложения, т. е. в данном случае пропорционально Таким образом, причины возникновения такой зависимости в данном случае совсем иные, чем в случае такого же закона изменения коэффициента связи между элементами в бесконечной решетке.

На рис. 8.42 приведены зависимости коэффициента связи между двумя близко расположенными волноводами от толщины диэлектрической вставки.

Рис. 8.41. Зависимость коэффициента взаимной связи двух волноводов с диэлектрическими вставками между ними при сканировании в -плоскости

По мере изменения толщины диэлектрической вставки наблюдаются резкие изменения коэффициента взаимной связи (резонансы). Исследование постоянных распространения второй и третьей гармоник и показывает, что резкие изменепия коэффициента связи обусловлены резонансами этих гармоник. Отметим, что в данном случае вторая гармоника не подавляется как раньше. Резкие изменения коэффициента, связанные с третьей гармоникой, наблюдаются вблизи резонансов, обусловленных второй гармоникой (при приблизительно равном 0,52 и 1,29). Пики при равном 0,12, 0,9 и 1,67, обусловлены только второй гармоникой.