3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ СЛУЧАЕВ СКАНИРОВАНИЯ В КВАЗИ-Е-ПЛОСКОСТИ И И Н-ПЛОСКОСТИ

Интегральные уравнения для рассматриваемых частных случаев сканирования можно получить на интегральных уравнений общего вида, рассмотренных в гл. 2. Однако это требует проведения громоздких выкладок. Поэтому интегральные уравнения для рассматриваемых случаев будут получены непосредственно.

Поскольку вывод интегральных уравнений осуществляется одинаково как для случая сканирования в -плоскости, так и для случая сканирования и квази-E-плоскости, мы рассмотрим подробно вывод уравнений только для случая сканирования -плоско-сти. Уравнения для другого случая будут приведены без вывода.

3.1. Сканирование в H-плоскости

При выводе интегральных уравнений в качестве неизвестной функции можно использовать тангенциальные составляющие электрического или магнитного поля в раскрыве антены. Первый шаг при выводе интегральных уравнений состоит в выборе удобных представлений для тангенциальных компонентов поля в волноводах и в свободном пространстве. Эти представления должны

удовлетворять граничным условиям при Искомое интегральное уравнение получается при сшивании тангенциальных составляющих полей во внутренней и внешней областях на раскрыве антенной решетки.

Антенная решетка предполагается бесконечно протяженной, и считается, что ее элементы возбуждаются напряжениями с одинаковыми амплитудами и с фазами, изменяющимися по линейному закону. Поля во всех периодических ячейках оказываются одинаковыми, за исключением фазы колебаний, которая изменяется на постоянную величину при переходе от элемента к элементу. Поэтому достаточно определить поле в одной ячейке (например, в ячейке с нулевыми индексами, расположенной в начале координат).

Поля внутри волновода будем представлять в виде суммы полей собственных волноводных типов волн, так как эти волны являются решениями волнового уравнения, удовлетворяющими граничным условиям на стенках волноводов.

Предположим, что на раскрыв волновода падает волна типа Тангенциальные составляющие полей внутри волновода можно представить в виде

где

— ортонормировании собственные функции типов волн в волноводе, волновые сопротивления, а коэффициенты постоянные распространения, определяемые соотношениями

Множители являются неизвестными коэффициентами, характеризующими амплитуды различных типов волн в волноводе. Отметим, что в выпажении (2) слагаемое, соответствующее

низшему типу волны, вынесено из под знака суммирования и записано отдельно. Это слагаемое состоит из двух частей: первая часть описывает волну, падающую на раскрыв, а вторая — волну, отраженную от раскрыва. Данное представление для полей справедливо в любой точке пространства внутри волновода. В частности, на раскрыве при получаем

Условия ортогональности и нормировки собственных функций можно использовать для нахождения коэффициентов разложения для цолей в выражении (2) с помощью знаний тангенциальных составляющих полей на раскрыве. Умножая, например, обе части уравнения (3) на функцию и интегрируя в пределах находим

После подстановки этого выражения в формулу (За) тангенциальная составляющая электрического поля в раскрыве будет выражена через тангенциальную составляющую магнитного поля на раскрыве. Таким образом,

При выводе соотношения (5) был изменен порядок суммирования и интегрирования. Это допустимо, так как ядро уравнения

имеет особенность вида и интеграл оказывается абсолютно сходящимся для всех решений, имеющих физический смысл.

Так как рассматриваемая решетка и ее возбуждение имеют периодический характер, то поле во внешней области можно представить в форме комплексного ряда Фурье. Члены такого ряда (гармоники Флоке) описывают бегущие волны и для одномерной задачи имеют вид

Каждая из таких волн характеризуется волновым сопротивлением и постоянной распространения по оси

Волновые сопротивления и постоянные распространения, так же как и сами функции изменяются при сканировании в зависимости от управляющей фазы (для сокращения записи индекс в опускается). Функции ортонормированы на интервале так, что выполняется соотношение

Поля во внешней области при записываются с помощью функций следующим образом:

где - неизвестные коэффициенты, имеющие смысл модальных токов. На раскрыве выражения для полей приобретают вид

Коэффициенты определяются из условия ортогональности функций

Подставляя соотношение (10) в уравнение (9а), получаем

Граничные условия на раскрыве заключаются в требовании непрерывности ангенци а ьных составляющих электрического и магнитного полей:

Так как тангенциальная составляющая электрического поля обращается в нуль на поверхности и внутри стенок волновода в интервале то условие непрерывности составляющей можно распространить на интервал — (период структуры). Тангенциальная составляющая магнитного поля на раскрыве в интервале претерпевает разрыв, так как а Поэтому тангенциальная составляющая магнитного поля на раскрыве в области определяется следующим образом:

Из граничных условий с помощью соотношений (5) и (11) получаем искомое интегральное уравнение

Это уравнение выведено для решетки, работающей в режиме передачи и возбуждаемой волнами в прямоугольных волноводах. Возбуждение решетки учитывается свободным членом уравнения (12). При выводе уравнения предполагалось, что падающая волна имеет единичную амплитуду. Поскольку рассматриваемая система является линейной, случай возбуждения антенной решетки падающей волной с амплитудой легко проанализировать, умножая левую и правую части уравнения (12) на величину Решение для тангенциальной составляющей магнитного поля в этом случае будет отличаться от решения, соответствующего падающей волне с единичной амплитудой, на постоянный множитель Ядро уравнения не изменяется, так как оно не зависит от способа возбуждения.

С помощвю аналогичных рассуждений легко записать интегральные уравнения, соответствующие различным способам возбуждения. Например, при возбуждении антенной решетки набором первых типов волн в волноводах с амплитудами левая

часть уравнения (12) принимает вид Если антенная решетка работает в режиме приема, достаточно использовать в левой части уравнения (12) подходящую функцию возбуждения (например, функцию если падающая волна представлена пространственной гармоникой нулевого порядка).

Вывод интегрального уравнения, в котором в качестве неизвестной функции используется тангенциальное электрическое ноле на раскрыве, аналогичен выводу интегрального уравнения относительно тангенциальной составляющей магнитного поля. Вместо неизвестных коэффициентов разложения тангенциальной составляющей магнитного поля на раскрыве (модальных токов) [уравнения (4) и (10)] вводятся коэффициенты разложения тангенциальной составляющей электрического поля на раскрыве (модальные напряжения) как функции этого поля:

и

где

Эти соотношения используются для представления тангенциальной составляющей магнитного поля в раскрыве через тангенциальную составляющую электрического поля

и

Использование условий непрерывности тангенциальных составляющих электрического и магнитного полей на раскрыве приводит к интегральному уравнению. В предположении, что амплитуда электрического поля в падающей волне равна единице,

уравнение имеет вид

При выводе этого уравнения мы изменили порядок интегрирования и суммирования, хотя эта операция является недопустимой, так как результирующий интеграл расходится» обычном смысле. Интегральное уравнение представлено в форме (13) для простоты записи. При численном решении этого уравнения можно не изменять порядок интегрирования и суммирования.

Сравнивая интегральные уравнения (12) и (13), можно заметить, что в ядре уравнения для тангенциального электрического поля содержатся волновые проводимости, а в ядре уравнения для тангенциального магнитного поля содержатся волновые сопротивления. Скорость сходимости ядер интегральных уравнений зависит от волновых сопротивлений (или волновых проводимостей) и определяется тем, какие волны или присутствуют в решении. Интегральное уравнение для тангенциальной составляющей электрического поля справедливо в области а интегральное уравнение для тангенциальной составляющей магнитного поля справедливо в области