4. КАНОНИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ОБ ИЗЛУЧЕНИИ ВОЛНОВОДНОЙ РЕШЕТКИ

Интегральные уравнения, полученные в разд. 2, справедливы для случаев, когда решетка состоит из параллельных пластин конечной толщины, т. е. при условии в режиме сканирования в квази-E-плоскости. Интегральные уравнения для электрического поля в раскрыве остаются справедливыми даже в том случае, когда в раскрыве антенной решетки помещены тонкие диафрагмы, при условии, что интегрирование осуществляется только для свободной части раскрыва. Положение диафрагм в раскрыве необязательно должно быть симметричным. Однако интегральное уравнение для тангенциальной составляющей магнитного поля при наличии диафрагм в раскрыве сильно усложняется [22].

Если стенки волноводов имеют конечную толщину, то интегральные уравнения решаются только приближенными методами. В гл. 5 рассмотрено применение метода моментов с использованием различных систем базисных и весовых функций для численного решения этих уравнений. В данной главе обсуждаются только особые частные случаи, допускающие решение задачи точными методами.

Точные решения возможны, если все стенки волноводов имеют бесконечно малую толщину. Это означавт, что при сканировании в -плоскости должно выполняться условие а при сканировании в квази-? плоскоста — условие с Для получения точного решения интегральных уравнений эти уравнения сначала преобразуются с помощью специальных пробных функций в матричные уравнения. В качестве примера рассмотрим решение уравнения (19). (Аналогичным образом можно решать и другие интегральные уравнения.)

Предположим, что приближенное решение имеет вид

Мы будем предполагать, что По мере возрастания качество аппроксимации улучшается и в пределе соотношений (20)

становится равенством. При подстановке соотношения (20) в уравнение (19) получаем

где коэффициенты связи между типами волн определяются из соотношений (14) и (17) следующим образом:

При вводе этого выражения было использовано соотношение

Умножая левую и правую части соотношения (21) на функцию и интегрируя в пределах до получаем

Подставляя в уравнение (22) выражения для полагая и

и перенося затем известные величины левую часть равенства, получаем

где

Соотношение (24) представляет собой бесконечную систему алгебраических уравнений особого вида. Если эти уравнения представить в матричной форме, то элемент матрицы с индексами равен т. е. коэффициент оказывается в столбце

с номером а коэффициент — в строке с номером Несмотря на то что число уравнений и число неизвестных бесконечно велико, эта система уравнений благодаря особой структуре может быть решена точными методами. Решение подобной системы уравнений детально рассмотрено в гл. 3.

Эта задача решается также методом Винера — Хопфа (см. разд. 10).

Решение для модальных коэффициентов имеет вид бесконечных произведений. Таким способом можно вычислить коэффициенты для всех типов волн. Ниже приведены результаты только для распространяющихся типов волн. В реальных антенных решетках условия распространения выполняются только для низшего типа волны. Ширина волноводов удовлетворяет соотношению При этом условии в свободном пространстве существует распространяющаяся волна, если управляющая фаза изменяется в интервале При выполнении соотношения распространения энергии не происходит. Так как решетка обладает симметрией, можно рассмотреть интервал изменения управляющей фазы

Коэффициент отражения и коэффициент передачи определяются соответственно выражениями

где

Коэффициент передачи нормирован так, что величина равна передаваемой мощности, если к каждому волноводу подводится единичная мощность.

Для решения задачи при сканировании в -плоскости можно использовать описанные выше методы. Распространение единственного типа волны в волноводе возможно в том случае, если выполняется условие При этом во внешней области будет существовать также одна распространяющаяся волна и диаграмма направленности решетки будет иметь один главный лепесток, если выполняется условие Если во внешней области возможно существование двух распространяющихся типов волн, и диаграмма направленности решетки содержит наряду с главным лепестком один дифракционный лепесток. Коэффициент отражения в этих двух диапазонах изменения угла сканирования определяется разными выражениями. Обозначим коэффициент передачи для главного лепестка диаграммы направленности через а коэффициент передачи для дифракционного лепестка — через В результате решения задачи для случая сканирования в -плоскости [1] получаем

и

где