4. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ВЗАИМНОЙ СВЯЗИ

В гл. 4 было показано, что асимптотическое поведение коэффициентов связи между двумя элементами, расположенными далеко друг от друга, определяется особыми точками производной

коэффициента отражения как функции угла сканирования. При анализе плоских ФАР мы установили также разрывный характер кривых коэффициентов отражения в точках возникновения главного лепестка или дополнительного главного лепестка. В этом разделе мы будем считать, что такого рода особенности производных играют подобную роль и в асимптотическом поведении коэффициентов взаимной связи. Ради простоты мы будем пользоваться моделью в виде элементов тока, а решетку будем считать прямоугольной на рис. 7.1). Однако полученные результаты в равной степени справедливы и для решеток, элементы которых располагаются в вершинах косоугольной сетки, имеющей двойную периодичность [11].

Напомним, что соотношение между коэффициентом отражения и коэффициентами взаимной связи записывается в виде двойного ряда Фурье

где и (управляющие фазы) свяааны с направляющими косинусами угла сканирования выражениями (12). Используя выражения (12), получаем

Наша задача заключается в том, чтобы оценить этот интеграл в пределе, т. е. найти Покажем, что если 1) градиент функции непрерывен в плоскости в области интегрирования, кроме значений углов сканирования, при которых возникает касательный дополнительный главный лепесток и которые отмечены кривыми (см., например, выражение приложения I), и 2) градиент функции по нормали к кривым сингулярен и пропорционален то при больших значениях стремится к где радиальное расстояние в апертурной плоскости, соответствующее на рис. 7.1.

Масть конфигурации дополнительного главного лепестка, состоящая из дуг окружностей (см. приложение 1) в плоскости , показана на рис. 7.32. Действительная область интегрирования в уравнении (31) при больших сокращается до окрестности контуров дополнительного главного лепестка (заштрихованная область на рис. 7.32). Чтобы убедиться в этом, надо применить интегрирование по частям для оценки выражения (31)

и учесть то, что градиент функции непрерывен всюду, кроме контура лепестка.

Рассмотрим плоские решетки, для которых известен: антенные решетки в видепериодических листков тока. В такой решетке ток имеет двоякопериодическое распределение, направленное вдоль оси х, и определен на плоскости Система координат и расстояния показаны на рис. 7.32. Такая абстрактная антенная решетка уже была использована другими исследователями [12]. Как модель она имеет три недостатка.

Рис. 7.32. Копфигурацвя дополнительного главного лепестка в плоскости

Во-первых, к элементам решетки не подводятся фидерные линии, и поэтому нормировка входного сопротивления антенны производится относительно волнового сопротивления свободного пространства Во-вторых, допускается, что распределение тока внутри элемента (размером не изменяется при сканировании, т. е. с изменением углов или ), хотя в реальной антенне при сканировании происходят изменения распределения в апертуре. Мы будем предполагать, что если ток действительно зависит от , то он изменяется таким образом, что удовлетворяются сформулированные выше требования к градиенту функции -третьих, входной импеданс при сканировании в плоскости имеет особенность, которую можно исключить, если за листком тока поместить бесконечный проводящий экран [12]. Преимущество этой модели заключается в том, что для нее можно получить выражение для в замкнутой форме.

На плоскости двойной ряд Фурье для листка тока, направленного по х, имеющего двойную периодичность и линейный набег фазы, можно написать в виде

где

а индексы принимают значения от до

Мы можем легко получить выражения для электрического и магнитного полей (см., например, работу [12]) и определить комплексную мощность подводимую по нормали к решетке из единичной ячейки; для нахождения этой мощности надо проинтегрировать вектор Пойнтинга

где

Таким образом, мы получили уравпение, правая часть которого представляет собой сумму членов вида Эту сумму можно приравнять к произведению квадрата эффективного тока на входное сопротивление элемента решетки, т. е.

В зависимости от вида распределения выбор может быть либо произвольным, либо естественным. Так, например, в случае косинусоидального распределения [12] , где длина вибратора, естественным будет выбор

Нормируя токи относительно

найдем нормированное входное сопротивление

Сингулярность в выражении (38), обусловленная множителем характерна для листка тока в отсутствие отражателя или бесконечного плоского экрана. Эту сингулярность можно исключить, если на расстоянии поместить отражатель, параллельный листку тока. При наличии отражателя входное сопротивление описывается выражением

(отражатель расположен в точке В обоих случаях (с отражателем и без него) коэффициент отражения определяется

выражением

Интересно отметить, что результат, приведенный в работе относится к случаю, когда только член отличен от нуля. Используя для выражение (40), оценим

в выражении (31). Сначала рассмотрим оценку градиента по нормали к кривым дополнительного главного лепестка. Возьмем подобласть, входящую в полную прямоугольную область интегрирования выражения (31) и ограниченную окружностью дополнительного главного лепестка с центром в точке перенесем начало координат в центр этой окружности, а затем перейдем к цилиндрическим координатам Тогда выражение для градиента по нормали к окружности примет вид

Оценим в предположении, что не оказывает влияния на асимптотическое поведение Такое предположение оправдано, в частности, для листка с равномерным распределением тока [13], решетки из диполей [14] и большого класса других распределений тока:

При этих условиях градиент по нормали к окружностям дополнительных главных лепестков в окрестности этих окружностей пропорционален как при наличии отражателя, так и без него. В частности,

без отражателя и

при с отражателем. В отсутствие отражателя коэффициент имеет особенность в -плоскости сканирования. При наличии бтражателя этот коэффициент в -плоскости равен нулю. Следовательно, проведенный анализ не позволяет исследовать

асимптотическое поведение при сканировании -плоскости для плоской решетки (для линейной решетки асимптотическое поведение в плоскости оказалось таким же, как и в -плоскости).

Итак, в общем случае мы предполагаем, что градиент в точках, близких к кривым дополнительных главных лепестков, представляет собой гладкую функцию умноженную на т. е.

С фивической точки зрения разумно предположить, что функция непрерывна во всех точках плоскости

Используя выражение (44) для нормальной компоненты градиента проинтегрируем уравнение (31) по частям. Тогда, учитывая периодичность,

Для каждой дуги окружности дополнительного главного лепестка в зоне интегрирования мы определяем область содержащую эту дугу. Сумма всех областей составляет полную область интегрирования. Для каждой области осуществляется перенос начала координат в центр соответствующей окружности и переход к цилиндрическим координатам так что выражение (44) принимает вид

где квантованные расстояния определяются выражениями

Отметим, что интегрирование по частям до сих пор давало зависимость вида

Так как непрерывная и несингулярная функция, мы находим (как и в случае линейных решеток), что

где в качестве области интегрирования берется окрестность кривой дополнительного главного лепестка (см. рис. 7.32). Эта окрестность представляет собой круговое кольцо, определяемое соотношениями

Используя выражения (44) и (48), получаем

где заменено на Используя соотношение

получаем

Отметим, что до интегрирования по в выражении (51) получена зависимость

Для каждого значения или в -плоскости сканирования) существует но меньшей мере одна кривая дополнительного главного лепестка такая, что

Следовательно, оценка выражения (51) по методу перевала дает

Уравнение (53) описывает асимптотическое поведение коэффициентов связи для этого класса решеток. Хотя это поведение не распространяется на -плоскость сканирования, его можно объяснить тем, что поле отдельного вибратора в дальней зоне затухает быстрее чем в направлении, параллельном вибратору.

Полученные здесь результаты (как и результаты гл. 4) согласуются с физическим сходством нагруженной решетки и вибратора над проводящей землей, у которого наблюдается такое же асимптотическое поведение. Это позволяет сделать вывод, что для всех решеток асимптотическое поведение коэффициентов взаимной связи одинаково.