3. Методы решения
1. ВВЕДЕНИЕ
В гл. 3 выведены интегральные уравнения для граничных задач, относящихся к бесконечным волноводным решеткам. Особенностью этих уравнений является то, что ядра имеют вид бесконечных сумм, представляющих собой вклады типов волн в двух существенно различающихся «волноводах». Из-за сложности задачи такие интегральные уравнения не могут быть решены аналитически, за исключением одного-двух частных случаев. Поэтому в этой главе основное внимание уделено численным методам решения.
Для применения численных методов необходимо сначала с помощью метода моментов перейти от интегрального уравнения к системе линейных алгебраических уравнений. После этого можно воспользоваться известными методами решения такой системы, среди которых наиболее распространенным является метод обращения матрицы. Хотя обращение матрицы легко выполняется на электронных вычислительных машинах, эффективность решения зависит от ряда факторов, таких, как простота вывода системы линейных алгебраических уравнений и вычисления элементов матрицы. Известен ряд хороших функциональных представлений для искомого решения. В частности, во многих случаях базис волноводных типов волн дает ряд преимуществ по сравнению с другими базисами.
Систему линейных алгебраических уравнений можно получать также путем применения процедуры Релея — Ритца к вариационному выражению для входного импеданса (или проводимости) решетки. Условия справедливости вариационного принципа обсуждены в гл. 2. В данной главе показано, что применение метода моментов при решении интегрального уравнения и процедура Релея — Ритца приводят к одной и той же системе линейных алгебраических уравнений. Предполагается, что решения, полученные методом моментов, автоматически удовлетворяют соотношению взаимности независимо от их точности. Это имеет важное значение для проверки верности решений.
Другой подход к решению интегральных уравнений основан на приближенной замене ядра вырожденным ядром. Из теории интегральных уравнений хорошо известно, что интегральное уравнение
с вырожденным ядром можно свести к конечной системе линейных алгебраических уравнений. Можно показать, что при соответствующем выборе базиса приближенного решения системы линейных алгебраических уравнений, полученные этим методом и методом моментов, совпадают. Следовательно, замена ядра вырожденным ядром эквивалентна применению метода моментов.
Важным аспектом применения численных методов является вопрос о корректности и точности решения. Некоторые способы проверки верности решенйя подробно описаны в этой главе.
Для частного вида решетки из тонких параллельных пластин можно найти точное решение уравнений методом Винера — Хопфа или методом вычетов. Это решение, полезное во многих отношениях, подробно рассмотрено в разд. 6. Поскольку уравнения, используемые в методе вычетов, выводятся из интегральных уравнений с помощью соответствующего выбора базиса, метод вычетов рассмотрен после метода моментов.
Вместо непосредственного обращения матрицы можно искать решение системы линейных алгебраических уравнений построением ряда Неймана, который быстро сходится во многих случаях. Этот метод также полезен для определения более точных границ погрешности решения.
