2.4. Собственные значения интегральных операторов. Вариационные принципы. Волноводные модели

Наиболее важным параметром ФАР является нормированная входная проводимость элемента антенной решетки при заданном типе волны в волноводах. Соотношение (56) связывает входную проводимость с коэффициентом отражения. Поэтому вывод интегрального уравнения для собственных значений, в которых входная проводимость берется в качестве собственного значения, представляет большой интерес.

Уравнение для собственных значений, краткий вывод которого приводится ниже, важно по нескольким причинам. Хорошо известно что уравнение для собственных значений, в котором соответствующий оператор обладает требуемыми свойствами, можно использовать для получения вариационно устойчивого выражения для собственного значения. В этом выражении для неизвестного поля можно использовать приближение первого порядка и получить приближение второго порядка или даже более точную аппроксимацию искомого собственного значения (в данпом случае Кроме того, условия, которым должна удовлетворять геометрия антенной решетки, чтобы существовало вариационное выражение, идентичны требованиям, предъявляемым при конструировании волноводных моделей решетки [10—13]. [Волновая модель решетки представляет собой прямоугольный (иногда треугольный) волновод, который располагается в области над решёткой так, чтобы закрыть заданное число ее излучателей. С помощью такого волновода, нагруженного на его характеристическое сопротивление, можно смоделировать свободное пространство над решеткой для некоторых частных направлений луча. Ниже будут рассмотрены требования к симметрии решетки, которые приводят к возможности такого моделирования.] При выводе этого выражения станет очевидной связь между внутренней граничной задачей (границами являются проводящие стенки) и задачей для ФАР, в которой имеется система периодически расположенных стенок.

Будем считать, что к раскрыву каждого волновода приходит волна только одного типа, и поэтому положим в уравнении Поскольку все эффекты, обусловленные возбуждением в волноводе нескольких падающих волн, можно учесть на основе принципа суперпозиции, то это предположение не уменьшает общности выводов. С помощью выражения (28) интегральное уравнение (44) можно преобразовать в уравнение для собственных значений:

гдесобственное значение входная проводимость, определенная выражением (56); вектор определяет координаты х и у точки в области элемент площади в точке Уравнение (72) для собственных значений является частным случаем уравнения

обобщенной задачи о собственных значениях:

в котором интегральные операторы и О определяются выражениями

и

В обычных уравнениях для собственных значений оператор является оператором идентичности. В данном частном случае обобщенного уравнения оператор представляет собой обособленное парное произведение. Можно показать [6, 14], что существует (и притом единственное) собственное значение и единственная собственная функция решение уравнения (72). Таким образом, можно предположить, что в общем случае уравнение (44) также имеет единственное решение [6, 16]. Особого внимания заслуживает то, что оператор не является симметричным в комплексном пространстве, и поэтому в некоторых случаях не очевидно, что из уравнения (72) можно получить вариационное выражение.

Для получения вариационного выражения преобразуем уравнение (72) в комплексно-симметричной форме. Это можно сделать двумя способами. При первом способе [17], который будет рассмотрен ниже, выявляется связь между проведением преобразования и конструированием волноводной модели. Для проведения преобразования мы потребуем, чтобы структура волноводной антенной решетки была инвариантной для операторов группы отражений и симметрии [8]:

Если выполнены эти условия, мы можем сфазировать антенную решетку таким образом, чтобы она имела одновременно четыре луча (рис. 2.7), для которых

или

При этом распределение электрического поля имеет вид

Рис. 2.7. Возбуждение четырех лучей при волноводном моделировании.

С помощью соотношений (77) и (38) можно найти результирую щее электрическое поле во внешней области

Используя формулы (11) и (12) для можно покатать, что для управляющих фаз

и

где - нечетные целые числа, целые числа; результирующее электрическое поле удовлетворяет равенствам

Следовательно, в этих сечениях, не нарушая распределения поля, можно установить металлические стенки, получив конструкцию, в которой один или несколько волноводов решеаки будут излучать энергию в один более крупный волновод. Таким образом, для бесконечной антенной решетки при некоторых направлениях сканирования получен эквивалент в виде волноводного перехода. Волноводное моделирование ФАР возможно [18] для управляющих фаз, удовлетворяющих соотношениям (79).

Из выражения (78) можно найти систему вещественных ортонормированных гармоник для свободного пространства которые будут ортогональными в расширенной прямоугольной области, определяемой формулами (80). Эта область (выделенная на рис. 2.7 прямоугольным контуром) обозначается как (площадь волноводной модели). Таким образом, если возможно осуществление волноводной модели, то задача оказывается типичной внутренней граничной задачей и можно получить вариационно устойчивое представление [19].

Систему волноводных гармоник можно переопределить таким образом, что новые гармоники будут ортонормированными в области Прежде всего перейдем к обозначениям с тройным индексом [см. выражение (25а)]:

и выберем те гармоники, которые удовлетворяют соотношению

(этот выбор всегда возможен). Тогда система волн, ортонормированных в области будет иметь вид

если

где выбор верхнего и нижнего сомножителей в фигурных скобках определяется для каждого типа волны Фртп симметрией компонент поля этой волны.

Представив полные поля во внутренней и внешней областях с помощью новых собственных функций, определенных выражениями (78) и (82), можно написать следующее уравнение для собственных значений:

где индексы соответствуют падающей волне (обозначенной выше поле в области с учетом всех четырех лучей. Суммы 2 22 означают, что при суммировании опускается гармоника падающей волны. Входная проводимость идентична проводимости в уравнениях (72) и (73).

Ядро уравнения (83) теперь имеет комплексно-симметричную форму и поэтому можно сформулировать вариационный принцип [3, 6] определения

Интегралы в уравнении (84) удобно преобразовать к такому же виду, как в уравнении (72), когда интегрирование производится по площади А только одного волноводного раскрыва, а электрическое поле соответствует возбуждению ФАР, при котором возникает один луч (луч 1 на фиг. 2.7). В результате преобразования уравнение (84) принимает вид

В практических задачах иногда желательно определить параметры эквивалентной или -образной схемы перехода от внутренней области волноводов к внешней, представленной также волноводом. Для них можно получить вариационные выражения [11, если расположить короткозамыкатель (электрический) на некотором расстоянии от раскрыва решетки в области Для получения всех параметров необходимо взять несколько значений Получающиеся при этом вариационные выражения вместо комплексносимметричного ядра оператора имеют вещественное симметричное ядро, и поэтому для решения можно использовать метод Релея — Ритца [1, 6]. Комплексный коэффициент отражения определяется затем с помощью параметров эквивалентной схемы. Кроме того, если вещественный симметричный оператор является положительно или отрицательно определенным [6] (что очень редко встречается в практических задачах), то можно получить оценку погрешности приближенного решения.

Второй способ получения комплексно-симметричного ядра уравнения для собственных значений [20, 26] не позволяет установить связь между периодической ФАР и волноводной моделью. Для получения комплексно-симметричпого ядра по этому методу необходима также определенная симметрия решетки.

Прежде всего отметим, что из формул (18) и (20) следует, что

где звездочкой отмечено комплексное сопряжение. Сделав в уравнении (72) подстановку

получим

Если теперь предположить, что функции обладают свойством

то оператор проводимости в уравнении (88) оказывается комплексно-симметричным.

Рис. 2.8. Бесконечная решетка и отдельный волновод. а — бесконечная ФАР из волноводов; один из волноводов с сечением А и раскрытом А.

Если же соотношение (89) для волноводов не выполняется, уравнение (88) не является комплексно-симметричным и выполняются условия симметричности (75). Это будет доказано на примере несимметричных диафрагм, установленных в раскрывах волноводов (рис. 2.8). В случаес имметрии в А, где — символ принадлежности. Однако в уравнении Следовательно, оператор в уравнении (88),

который содержит и интегрирование и ядро, является несимметричным. Поясним это подробнее. Определим новую область таким образом, чтобы [Область представляет собой полное сечение волновода (рис. 2.1). Она является наименьшей областью, содержащей обе области изменения переменных ]

Полагая

можно установить, что получившийся интегральный оператор и новое ядро, определенные формулой

не симметричны из-за функций k.

Таким образом, насколько можно утверждать в настоящее время [20], применение вариационных принципов для расчета характеристик ФАР с отклоненным на некоторый угол лучом основывается на предположении о наличии у решетки зеркальной симметрии [условия (75)). Требование симметрии согласуется с условием теоретической возможности изготовления волноводной модели. Это означает, что асимметричные неоднородности и диафрагмы или несимметричное расположение волноводов в раскрыве антенной решетки препятствуют конструированию волноводных моделей решетки и применению вариационных принципов для ее анализа.

Необходимо отметить, что решение уравнений (44) или (88) методом моментов [21] эквивалентно [22] использованию вариационного выражения (85). Следовательно, для получения приближенного решения с помощью стационарного представления не обязательно преобразовывать уравнения (44) или (88) к специальной форме (85). Этот вывод проанализирован в гл. 3.