2.2. Решетка конечных размеров на бесконечном плоском экране

Дополняющая структура в виде бесконечного плоского экрана (рис. 8.7, а), по-видимому, является наиболее распространенным вариантом. Этот вариант проще и дешевле в изготовлении, чем варианты, показанные на рис. 8.6, б и кроме того, он обеспечивает некоторое «экранирование» фидерной системы.

Для очень малых решеток на бесконечном плоском экране можно получить приближенное аналитическое решение, которое в некоторых случаях проще, чем обычное. Тангенциальное электрическое поле в апертуре малой решетки можно аппроксимировать вариационным выражением, причем простые приближения часто приводят к хорошим результатам [28]. Так, например, успешно используется приближение Кирхгофа.

Для вычисления взаимной связи между несколькими элементами решетки и учета влияния диэлектрических вставок и покрытий приходится использовать более сложные приближенные методы (например, метод Ритца — Галеркина). Базисные функции в

данном случае должны представлять поле по всей решетке, так как теорему Флоке здесь применить нельзя. Бели неизвестной функцией является тангенциальное электрическое поле, то, исходя из из граничных условий, необходимо рассматривать поле только в пределах апертуры. Если же искомой функцией является тангенциальное магнитное поле, то, поскольку это поле на бесконечном плоском экране не равно нулю, необходимо рассматривать представление неизвестного поля по бесконечной области. Поэтому обычно в таких задачах всегда определяют электрическое поле (как неизвестное поле в апертуре).

Для некоторых очень больших решеток на бесконечном плоском экране можно выбрать конечное число элементов вблизи краев решетки и рассматривать их отдельно от остальных (центральных). Затем можно предположить, что теорема Флокс применима к центральным элементам, и решить данную задачу (за исключением одного неизвестного коэффициента) отдельно от задачи о краевых элементах.

Одна из особенностей любой конечной решетки независимо от типа ее дополняющей структуры состоит в том, что часть ядра интегрального уравнения, относящаяся к внешней области является интегралом от непрерывных собственных функций, а не суммой дискретных собственных функций, получаемой по теореме Флоке для внутренней и внешней областей. В следующем разделе исследованы некоторые аналитические аспекты этой задачи, представлены численные результаты для решетки из параллельных пластин при сканировании в и плоскостях, а также рассмотрены эффекты, обусловленные введением в такие решетки диэлектрических вставок и покрытий.

2.2.1. Конечная решетка, сканирующая в Е-плоскости.

Многие важные особенности характеристик излучения, отражения и коэффициентов взаимной связи конечных решеток на бесконечном плоском экране можпо проиллюстрировать на примере анализа решетки из параллельных пластин (рис. 8.14) при сканировании в -плоскости [29]. До сих пор при вычислении коэффициентов вааимной связи между двумя [30] и тремя 131] такими волноводами использовали методы геометрической теории дифракции. В данном разделе будет использовано вариационное решение соответствующего интегрального уравнения по методу Ритца — Галеркина.

Один из интересных результатов, получаемых при решении уравнения для решетки на бесконечно плоском экране, состоит в том, что коэффициент связи между двумя элементами уменьшается при больших пропорционально где расстояние между волноводами. Такую зависимость можно было ожидать, так как известно, что токи на плоском экране и поля вблизи пего спадают асимптотически пропорционально Эта кривая имеет

значительно меньшую крутизну, чем которая характеризует спад коэффициентов взаимной связи и полей в линейных решетках, дополненных пассивными элементами (рис. 8.7, 6). Поэтому в общем случае требуются конечные плоские экраны больших размеров.

Интегральное уравнение Фредгольма первого рода для конечной решетки на бесконечном плоском экране (рис. 8.14) составляется следующим образом: тангенциальные поля в апертуре решетки (при сначала записываются с помощью дискретных типов волн в волноводах, а затем в терминах непрерывных пространственных гармоник в свободном пространстве.

Рис. 8.14. Решетка конечных размеров из параллельных пластин.

Приравнивая эти два выражения на полной апертуре решетки

получаем интегральное уравнение, которое содержит также и граничные условия (см. гл. 2).

Поскольку поперечное магнитное направлено по оси х и в этом паправлении нет вариаций ни одной из компонент поля, можно описать всю структуру полей при помощи ТМ-волн (см. гл. 4). Если предположить, что волновод с индексом возбуждается основным типом волны этого волновода и если заданы комплексный коэффициент и коэффициент отражения

тогда тангенциальное электрическое поле можно описать выражением

Заметим, что в обозначениях модальных функций и модальных напряжений используются двойные индексы. Первый из них указывает тип волны, а второй — индекс волновода. Если решетка состоит из одинаковых равноотстоящих волноводов, модальные функции имеют вид

Выражение (22) справедливо для полной апертуры в действительности же оно справедливо во всей области — что вытекает из граничных условий.

Тангенциальное магнитное поле описывается выражением (см. гл. 2 и 4)

где

соответственно модальные проводимости цустого волновода и волновода, заполненного диэлектриком с относительной диэлектрической проницаемостью Величина

Коэффициенты можно выразить через напряженность поля в апертуре:

и

Поскольку по определению вне области интегрирование в выражении (27) можно выполнить либо по либо по

Для представления поля конечной решетки во внешней области требуется непрерывный спектр собственных функций, так как решетка непериодическая. Практически же, даже если бы решетка была периодической, потребовалось бы использовать представление в виде непрерывного спектра, так как функция возбуждения непериодическая. Такой подход к анализу апериодической решетки рассмотрен в работе [5].

Для описания поля во внешней области можно использовать два метода. По одному из них спектр собственных функций представляют в виде интеграла Фурье. Это может привести к соответствующей функции Грина для поля в апертуре на плоском экране (5), если поле во внешней области определяется с помощью поля в апертуре. Другой способ [24, 29] основан на использовании теоремы Грина для описания поля непосредственно функцией Грина. В данном разделе использовано представление с помощью интеграла Фурье, так как оно по форме аналогично представлению в виде дискретной суммы, которое использовалось до сих пор для периодических структур и функций возбуждения. Показано, что если диэлектрики во внешней области отсутствуют, интеграл (непрерывное суммирование) можно выразить в замкнутой форме (обычная цилиндрическая функция Грина).

Выражение для тангенциального электрического поля в области А, найденное с помощью интеграла Фурье, имеет вид

где использовано прямое и обратное преобразование Фурье для получения единичного оператора относительно Такое представление можно интерпретировать как сумму вкладов непрерывного множества гармоник, существующих во внешней области. Модальные функции определяются выражением

где индекс непрерывного суммирования.

Электрическое поле во всей вношней области определяется выражением 113]

Из уравнений Максвелла находим выражение для магнитного поля

В частности, при

Это выражение можно было бы записать в форме, аналогичной форме выражений, использовавшихся в данной книге для случаев дискретного спектра:

где

являются модальными проводимостями для гармоник непрерывного спектра, определяемых выражением (29).

Если во внешней области нет диэлектрика, ядро в выражении (32) можно проинтегрировать в замкнутой форме.

Для нахождения же ядра интеграла (31) необходимо изменить порядок интегрирования. В гл. 2 при составлении интегрального уравнения мы изменяли порядок интегрирования и суммирования; при этом сумма образовывала ядро получаемого уравнения. В тех выводах сумму нельзя было представить в замкнутой форме, и поэтому изменение порядка операций на обратный было по существу символическим. В данном же случае суммирование (интегрирование) можно выполнить в замкнутой форме и изменение порядка операций становится важным. Однако иногда изменение порядка интегрирования не представляется возможным. Более полный математический анализ этого вопроса выходит за рамки данной книги (читатель может познакомиться с ним в работе [33]). Некоторые «вычислительные» аспекты данной задачи рассмотрены в следующем разделе (разд. 2.2.2).

Таким образом, мы находим [32], что

где функция Ганкеля, или цилиндрическая функция Грина для тока на бесконечном плоском экране (при временной зависимости

Используя выражение (25) и условие вне области А, можно записать выражение (32) в виде

Приравнивая выражения (24) и (36), т. е. выполняя требование непрерывности тангенциального поля на границе апертуры А, и используя также выражение (27), подучим интегральное уравнение относительно неизвестной функции

где

Это интегральное уравнение имеет такой же вид, как и полученные выше (см. гл. 2 и 4) уравнения, за исключением того что часть ядра, относящаяся к внешней области, представлена в замкнутой форме.

Приближенные численные решения уравнения (37) получены с помощью метода Ритца — Галеркина. При этом использовались кусочно-постоянные базисные функции того же типа, что и в гл. 3 и 5. Оказалось, что для достижения точности в несколько процентов при определении коэффициентов отражения и других параметров достаточно кусочно-постоянных функций на раскрыв или волновод, что соответствует примерно выборкам на длину волны.

Коэффициенты отражения определяются из выражения (276), если найдено аппроксимирующее выражение для Полное электрическое поле во внешней области можно найтн до формуле (30), а полное магнитное ноле во внешней области — по формуле (31). Поскольку

где

выражение (31) можно написать в виде

Если положить и допустить возбуждение только элемента с индексом волной единичной амплитуды, можно получить нормированную относительно падающей мощности диаграмму направленности, которую легко сравнивать с диаграммой направленности одного элемента, возбужденного в бесконечной решетке [14]. В данном случае нас интересует поле в дальней зоне, т. е. поле излучения. Найдем это поле, используя асимптотическую форму при больших в выражении (41). После нормировки получаем

где Обозначение введено по аналогии с обозначением коэффициента передачи для случая возбуждения одного элемента в бесконечной решетке. Суммируя значения величин полученных при возбуждении различных элементов решетки (рис. 8.14), можно найти диаграмму направленности при любом варианте возбуждения решетки.

Рис. 8.15. Нормированные проводимости излучения плоскопараллельного волновода данные справочника).

Из результатов расчета проводимости излучения одного волновода в плоском бесконечном экране, приведенных на рис. 8.15, видно влияние размера волновода а и заполнения всего волновода диэлектриком иа проводимость излучения. Взятые из справочника по волноводам [28] для данные пересчитаны для предполагаемого поля в апертуре равного падающему полю в вариационном выражении (приближение Кирхгофа).

Приближение Кирхгофа для дает удовлетворительные значения проводимостей излучения из вариационного выражения, но более точные значения полученные решением соответствующего интегрального уравнения методом Ритца — Галеркина (рис. 8.16, а), обнаруживают отклонение поля от падающего поля (однородного по амплитуде и фазе, см. выражение (23) при С увеличением диэлектрической проницаемости это отклонение становится больше.

Кривые коэффициента отражения отдельного волновода с диэлектрической вставкой приведены на рис. 8.16, б. Кривые амплитуды и фазы коэффициента отражения построены в зависимости от толщины диэлектрической вставки при фиксированных значениях и

Рис. 8.16. (см. скан) Электрические поля о раскрыве плоскопараллельного волновода (а) и коэффициент отражения плоскопараллельного волновода с диэлектрической вставкой кривые амплитуды; кривые фазы.

Значения этих параметров выбираются так, чтобы только один тип волпы распространялся в диэлектрической вставке и в незаполненной диэлектриком части волновода. За исключением области самых малых толщин [34, 35], коэффициент отражения является периодической функцией толщины.

Рассмотрим теперь коэффициент взаимной связи двух пустых волноводов (не заполненных диэлектриком). Он определяется

как модальное напряжение, индуцируемое в одном волноводе, когда другой возбуждается единичным модальным напряжением. На рис. 8.17 приведена зависимость коэффициента взаимной связи от расстояния между волноводами.

Рис. 8.17. (см. скан) Коэффициенты взаимной связи двух плоскопараллельных волноводов.

Отметим, во-первых, что с увеличением амплитуда коэффициента связи уменьшается. Кроме того, она монотонно уменьшается с увеличением расстояния; при больших расстояниях, например , это уменьшение

пропорционально расстояние между волноводами). Такая крутизна изменения коэффициента связи значительно отличается от крутизны спада коэффициента взаимной связи в бесконечных решетках Кривые фазы представляют собой параллельные линии, расстояние между которыми равно длине волпы в свободном пространстве. Такая зависимость сохраняется до очень малых значений

Коэффициенты взаимной связи в решетке из трех волноводов приведены на рис. 8.18. Для сравнения на рис. 8.18 приведен коэффициент взаимной связи для решетки из двух волноводов. Как видно, кривая амплитуды коэффициента связи между возбужденным крайним волноводом и центральным имеет колебательный характер, что обусловлено присутствием второго крайнего волновода. Колебания, однако, сравнительно малы, и в первом приближении ими можно пренебречь. Коэффициент взаимной связи двух крайних волноводов на меньше величины, получаемой в том случае, если не учитывается наличие центрального волновода.

Рис. 8.18. Коэффициенты взаимной связи в решетке из трех волноводов.

Влияние диэлектрических вставок в волноводах обнаруживается из результатов расчета при приведенных на рис. 8.19. При таком выборе параметров в диэлектрической вставке существует два распространяющихся типа волн, тогда как в пустом волноводе может распространяться лишь один тип волны. Поэтому одна из двух волн в диэлектрике оказывается нагруженной на реактивную нагрузку (если смотреть в глубь волновода). При возбуждении этой волны вся ее энергия отражается в сторону раскрыва и переизлучается. Это может привести к многократным отражениям между возбужденным и пассивным волноводами. Коэффициенты взаимной связи этом сильно изменяются. Так, например, взаимную связь можно усилить или подавить соответствующим выбором параметров (см. кривые для случаев Более того, если значения параметров попадают в некоторую «критическую область», кривая амплитуды коэффициента взаимной связи может приобрести колебательный характер (например, кривая Более наглядно это можно представить, если рассмотреть зависимость коэффициента

(кликните для просмотра скана)

взаимной связи от толщины диэлектрической вставки (рис. 8.20). В качестве параметра на рис. 8.20 выбрано расстояние между волноводами.

Зависимость коэффициента взаимной связи от частоты имеет также колебательный характер (рис. 8.21). Отметим, что резонансное поведение ограничено узкой полосой частот и что при достигается максимальное значение коэффициента связи при и минимальное значение — при Безусловно, что при другом выборе максимальное и минимальное значения коэффициента взаимной связи будут иными и будут наблюдаться на других длинах волн. Важно подчеркнуть также, что резонансные характеристики наблюдаются лишь тогда, когда диэлектрические вставки имеют соответствующую толщину.

Рис. 8.20. Зависимость амплитуды коэффициента взаимной связи двух волноводов с диэлектрическими вставками от толщины вставок

На рис. 8.22 приведены диаграммы направленности [(см. выражение (42)] центрального элемента конечных решеток, состоящих из различного числа элементов Видно, что в решотке из пяти элементов диаграмма при углах до хорошо совпадает с диаграммой для случая бесконечной решетки.

С увеличением числа элементов решетки возрастает степень совпадения диаграмм и расширяется область углов совпадения. Сходимость, однако, оказывается довольно медленной. Увеличение числа элементов влечет за собой увеличение числа «пульсаций» диаграммы.

Коэффициенты отражения тех же решеток при условии, что все элементы возбуждаются как элементы фазированной решетки приведены на рис. 8.23. Если расстояние между элементами в кривой коэффициента отражения бесконечной решетки наблюдается резкий излом, когда луч касается плоскости решетки Этот излом воспроизводится более точно по мере увеличения Процесс во многом такой же, как и при увеличении числа возбуждаемых элементов в бесконечной решетке, в которой остальные элементы нагружены на поглощающие нагрузки (см. гл. 4 и рис. 8.7, 6).

Из сравнения диаграмм направленности элементов при различном расположении их в решетке из 15 элементов (рис. 8.24) следует, что диаграмма крайнего элемента сильно отличается от диаграммы элемента бесконечной решетки.

Рис. 8.21. (см. скан) Зависимость коэффициента взаимной связи двух волноводов с диэлектрическими вставками от длины волны.

По мере продвижения к центру решетки диаграммы направленности становятся более симметричными по отношению к нормали решетки и, кроме того, более близкими к диаграмме элемента бесконечной решетки. Диапазон углов, в котором диаграмма имеет достаточную симметрию, для пятого элемента превышает На рис. 8.25 приведены коэффициенты отражения элементов решетки из 15 элементов.

Поскольку диаграммы направленности каждого элемента различны (так как различны коэффициенты взаимной связи), принцип перемножения диаграмм можно применять лишь как некоторое приближение.

Рис. 8.22. Диаграммы направленности центрального элемента конечных решеток, состоящих из различного числа элементов .

Диаграмму направленности решетки следует затем рассчитать непосредственно с учетом диаграмм каждого элемента.

Рис. 8.23. Коэффициенты отражения центральных элементов при условии, что все элементы имеют одинаковое по амплитуда и линейное по фазе (град/элемент) возбуждение и не заполнены диэлектриком

Для этого суммируются диаграммы направленности

элементов [выражение (42)], при этом учитывается то, что зависит от положения элемента в решетке. Полученные в результате сложения диаграммы для решетки из 9 элементов с одинаковым возбуждением приведены на рис. 8.26. Хотя, как и ожидалось, эти диаграммы отличаются от диаграмм, которые можно было бы получить, применяя принцип перемножения диаграмм (например, диаграммы направленности центрального элемента, рис. 8.22), различия несущественны.

Рис. 8.24. Диаграммы направленности элементов в решетке из 15 элементов при самый крайний слева (см. рис. 8.14)].

Уровень боковых лепестков в диаграмме составляет ширина главного лепестка равна 13,5°, если направление основного максимума совпадает с нормалью решетки. По мере отклонения луча от нормали начинают играть роль расширение главного лепестка и влияние диаграммы направленности элемента, вследствие чего значительно уменьшается коэффициент усиления. Кроме того, при большом отклонении луча от нормали становятся заметными искажения за счет сканирования [36].

Рассмотрим теперь вопрос о влиянии диэлектрических вставок в волноводе вблизи апертуры. Параметры диэлектрических вставок выбирают так, чтобы в плоскости апертуры наблюдался резонанс. Условие возникновения резонанса можно определить, используя приближение на основе теории длинных линий (см. гл. 6 и 7). На рис. 8.27 приведены диаграммы направленности центральных элементов в решетках, состоящих из различного числа элементов с диэлектрическими вставками при При таком выборе параметров диаграмма

Рис. 8.25, (см. скан) Коэффициенты отражении в ренгстке из 15 элементов без диэлектрических вставок

направленности бесконечной решетки имеет минимум, или «резонанс», при В диаграмме направленности для решетки из 7 элементов минимум находится при однако он не достигает пуля, С увеличением числа элементов решетки минимумы сходятся к минимуму (нулю) бесконечной решетки. Чтобы диаграмма направленности центрального элемента решетки была достаточно близкой диаграмме такого же элемента бесконечной решетки, число элементов решетки должно быть больше 13. Аналогичный вывод справедлив и для коэффициентов отражения (рис. 8.28). Минимумы излучения проявляются здесь в виде максимумов, которые

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

становятся больше и острее с увеличением числа элементов конечной решетки.

Поскольку для имитации бесконечной решетки необходимы значительно более крупные решетки (когда параметры решетки допускают возникновение резонанса в апертуре), не удивительно, что характеристики излучения и отражения элементов решетки из 10 элементов (рис. 8.29 и 8.30) зависят от положения элемента в решетке.

Рис. 8.31. Диаграммы направленности решетки, состоящей из И элементов с диэлектрическими вставками

Если диэлектрические вставки выбраны так, что , то резонанс в соответствующей бесконечной решетке возникает при Очевидно, что от элемента к элементу эти результаты будут меняться в широких пределах. Более того, следует обратить внимание на то, что не у всех элементов обнаруживается острый максимум на кривой коэффициента отражения, как можно было бы ожидать в случае больших решеток.

Из диаграмм направленности (рис. 8.31) решетки, состоящей из 11 элементов, видно, что, поскольку волноводы имеют диэлектрические вставки, которые обусловливают существование резонанса, при сканировании в области резонанса диаграмма имеет расширенный главный лепесток и большие боковые лепестки. В больших решетках коэффициент усиления в этой области сканирования, естественно, будет уменьшаться еще сильнее.

Возникновение резонансов в рошетке свидетельствует о важности эффектов взаимной связи. Исследуем теперь коэффициенты взаимной связи в двух решетках, одна из которых образована пустыми волноводами, а волноводы другой содержат диэлектрические вставки, причем толщина и диэлектрическая проницаемость

вставок выбраны так, что диаграмма направленности решетки имеет минимум. Найденные значения коэффициентов взаимной связи для решетки из пустых волноводов приведены на рис. 8.32, а. На основании этих результатов можно сделать несколько выводов.

Рис. 8.32. (см. скан) Коэффициенты взаимной связи в решетке

0,4) из 15 пустых элементов (а) и 15 элементов с диэлектрическими вставками При вовбужденни: первого элемента; третьего элемента;

А — пятого элемента; восьмого элемента.

Во-первых, с увеличением расстояния между элементами коэффициенты взаимной связи монотонно уменьшаются. Во-вторых, коэффициенты взаимной связи любых двух элементов слабо зависят от положения этих элементов в решетке и ее размеров при условии, что ни один из элементов не является крайни. Этот вывод

был сделай в работах [3, 4], а также в начале этой главы. Если же элементы решетки содержат диэлектрические вставки, толщина и проницаемость которых соответствуют возникновению резонанса в решетке, поведение коэффициентов взаимной связи оказывается совсем иным. В этом случае коэффициенты взаимной связи не уменьшаются монотонно с увеличением расстояния между элементами и сильно зависят от размеров решетки и от расположения возбуждаемого элемента в решетке (рис. 8.32, б).