2.1. Интегральное уравнение для электрического поля

Перейдем к выводу интегрального уравнения Фредгольма первого рода, выбрав тангенциальную компоненту электрического поля в раскрыве решетки — в качестве неизвестной функции. Будем рассматривать антенную решетку с волноводными элементами (рис. 2.1).

Рис. 2,3. Типичный элемент решетки (а) и его продольное сечение (б). 1 - прямоугольный контур периодической ячейки на плоскости раскрывав; 2 - отверстие в диафрагме; 3 — тонкая металлическая диафрагма площадью А - А; 4 - стенки волновода; 5 — металлический лист.

Типичный элемент решетки (произвольного поперечного сечения) может иметь вид, показанный на рис. 2.3.

Отметим, что в раскрыве волновода можно устанавливать тонкую поперечную металлическую диафрагму. Площадь поперечного сечения волновода обозначим через А, а часть раскрыва, оставшуюся открытой в присутствии диафрагмы, — через А. В расчет можно включить и толстую металлическую диафрагму (а также и другие, более сложные конструкции). Однако задача толстой Диафрагмой приводит к системе двух связанных интегральных

уравнений, которые мы, как правило, не будем рассматривать, если только конструкция элемента не имеет особого значения. Однако мы можем включить в рассмотрение антенные решетки, имеющие диэлектрическое покрытие и диэлектрические вставки внутри волноводов (эта задача приводит к одному интегральному уравнению). Подробно такие конструкции рассмотрены в гл. 6.

Площадь поперечного сечения волновода А и излучающий раскрыв А в действительности могут быть образованы несколькими волноводами, находящимися в одной периодической ячейке (рис. 2.4).

Рис. 2.4. Составная плоская волноводная решетка с основной периодической ячейкой размером

Поперечную составляющую вектора напряженности электрического поля волновода можно представить с помощью ортонормиров энных векторных волноводных волн для ТЕ-волны и для ТМ-волны) в виде суммы

где использована более простая индексация волноводных волн

(такое обозначение окажется полезным также в гл. 7). Коэффициенты являются известными или заданными амплитудами первых гармоник, которые приходят к раскрыву и обычно считаются распространяющимися для Однако можно допустить, что некоторые из этих гармоник являются затухающими (т. е. и в этих случаях необходимо специальным образом определять матрицы сопротивлепий и рассеяния.

Величины неизвестные коэффициенты отражения первых гармоник в плоскости раскрыва (т. е. при Величины амплитуды остальных гармоник, которые необходимо определить вместе с чтобы решить полностью задачу. Поскольку электромагнитное поле повторяется периодически от ячейки к ячейке со сдвигом фаз по оси по оси у, т. е. выполняются условия теоремы Флоке, то достаточно рассмотреть только поле одной ячейки с индексами

Отметим, что представление поля в виде ряда (25) удовлетворяет условию излучения при Поскольку оно должно удовлетворять условию непрерывности при то

Так как функции в области поперечного сечения волновода ортонормированы, т. е.

— символ Кронекера), то коэффициенты ; и можно выразить через искомую тангенциальную компоненту электрического поля в раскрыве следующим образом:

Если в раскрыве установлена диафрагма, то площадь интегрирования уменьшается до так как компонента равна на диафрагме

Поперечную составляющую магнитного поля в волноводах можно найти либо из уравнений Максвелла, либо с помощью волновых проводимостей (см. разд. 1). Волны, распространяющиеся в положительном и отрицательном направлениях оси имеют противоположно направленные поперечные компоненты

магнитного поля. Для можно написать

где волновые проводимости (для ТЕ-волн , для ТМ-волн ). Для распространяющихся волн значения всегда вещественны и положительны. Для затухающих волн проводимости можно найти но следующим формулам [3]:

и

Отметим, что выражения (30) не исключают возможности использования с комплексными значениями. Например, потери в диэлектрике часто описываются комплексной диэлектрической проницаемостью. Выражения для при этом остаются справедливыми, но теперь имеет комплексное значение.

Для магнитного поля в раскрыве мы имеем следующее уравнение:

Рассмотрим снова интегральные представления С помощью выражения (28) выражение (26) приводится к виду

Исследуем возможность изменения в выражении (32) порядка суммирования и интегрирования. В классической математике [4] запрещается изменение порядка этих операций, так как может быть неограниченной функцией. Действительно [5], нормальная к стенке волновода компонента электрического поля на ребре (при имеет особенность (стремится к бесконечности, хотя и по-разному для двугранного угла 90° и в случае кромки полуплоскости). Несмотря на это, изменение порядка операций в выражении (32) возможно, если использовать понятие -функции или

оператора идентичности [6]:

Отметим, что благодаря полноте системы функций в области А сумма их парных произведений [6] представляет собой -функцию

где — единичный трехмерный матричный оператор. Интегральный оператор

является оператором идентичности в пространстве векторных функций.

Используя определение оператора идентичности, выражения (26) и (31) можно переписать в виде

и

Оператор в выражении (37) можно рассматривать как оператор проводимости в отличие от единичного оператора в выражении (36).

Для составления интегральных уравнений или получения приближенных или точных (где это возможно) решений необязательно использовать интегральные выражения (36) и (37). Однако в качестве общей схемы решения они оказываются полезными, так как приводят к стандартной форме интегральных уравнений с сингулярными ядрами.

В свободном пространстве поперечную составляющую электрического поля можно представить с помощью полной системы векторных пространственных гармоник (гармоник Флоке). Поскольку падающая волпа приходит только со стороны волноводов, эти гармоники должны иметь вид волн, распространяющихся в положительном направлении Таким образом,

где неизвестные коэффициенты разложения электрического поля. Используя ортонормированпость пространственных гармоник [выражение (20а)] при мы можем найти

Здесь для электрического поля в области мы приняли то же обозначение которое было использовано для области [выражение (28)]. Выражения (28) и (39) составляют выражение непрерывности в раскрыве (при Найдем теперь выражение непрерывности в раскрыве.

Выражение для с помощью пространственных гармоник и волновых проводимостей можно написать в следующем виде:

Используя выражение (39), находим

Поскольку в раскрыве волновода может быть установлена диафрагма (рис. 2.3), необходимо положить в области Это условие легко удовлетворяется заменой А на А, т. е. в выражениях (37) и (41)

Приравниваем, наконец, два выражения для сделав это только на площади При этом областью изменения переменных также является А. Используя выражение (28) и равенство

мы получим требуемую форму интегрального уравнения для электрического поля

Одним из важных свойств уравнения (44) является то, что оператор проводимости (или ядро)

не изменяется при изменении магнитного поля падающей волны, равного половине левой части (свободного члена) уравнения (44). Поэтому левую часть легко можно изменить таким образом, чтобы учесть приходящие пространственные гармоники, а также любое другое поле возбуждения.