2.2.3. Излучение волновода на плоской экране с диэлектрическим покрытием.

Задача об излучении волновода сквозь слой диэлектрика, покрывающий плоский бесконечный экран (рис. 8.43), во многом отличается от задачи о волноводе с диэлектрической

(кликните для просмотра скана)

вставкой (см. разд. 2.2.1 и 2.2.2). Во-первых [42], непрерывное спектральное представление в виде интеграла Фурье, используемое для поля в области нельзя проинтегрировать в замкнутой форме (в виде функции Грина). Это значительно затрудняет численное решение задачи. Хотя функция Грина для области диэлектрика над бесконечным плоским экраном детально рассмотрена в литературе [43, 44], анализ ограничивается асимптотической оценкой интеграла Фурье для функции Грина в дальней зоне. Во-вторых, в диэлектрическом слое возможно возбуждение поверхностных волн так же, как и в ребристых структурах, описанных выше в разд. 2.1. (Возмояшость возбуждения поверхностных волн вытекает из спектрального представления.) Поэтому геометрию структуры (рис. 8.43) необходимо выбирать так, чтобы при этом не возбуждались поверхностные волны. В действительности, представление поля для этой структуры во внешней области обладает всеми свойствами дискретной суммы для области бесконечной решетки. В этом случае дискретная сумма становится непрерывным интегралом (см. разд. 2.2.1 и 2.2.2). Физическая интерпретация затухающих, захваченных и излучаемых гармоник, а также других факторов по существу остается такой же, как и в предыдущих главах.

При поляризации, показанной на рис. 8.43, падающая волна возбуждает только рассеянные поля ТЕ-типа (см. разд. 2.2.2). При отсутствии зависимости полей от координаты у уравнения Максвелла для структуры на рис. 8.43 принимают вид

и

Если теперь представить, что

где преобразование определяется как

то легко выразить и через используя граничные условия при [непрерывность тангенциальных составляющих и и условие излучения при

В результате получаем

где соответствующая функция. Грина имеет вид

а постоянные распределения внутри и вне диэлектрического покрытия соответственно равны

для временной зависимости Таким образом, при тангенциальные поля в апертуре определяются выражением (63) для а для выражением

Отметим, что порядок интегрирования в вышеприведенных уравнениях изменен, поэтому здесь также возникает вопрос о сходимости (см. разд. 2.2.2). Данный порядок интегрирования можно считать символическим и предполагать, что в любом реальном численном расчете будут использоваться соответствующие базисные функции и способы вычислений, о которых говорилось в разд. 2.2.2. Запись выражения (68) аналогична записи выражений для бесконечной решетки с диэлектрическим покрытием (см. гл. 6 и 7). Отметим, что бесконечная сумма в задаче о бесконечной решетке здесь заменена интегралом а модальная проводимость непрерывного спектра имеет вид

и по форме идентична модальным проводимостям дискретных гармоник в случае бесконечной решетки с диэлектрическим покрытием.

Следует добавить, что выражения (38) и {69) имеют по существу ту же форму и при возбуждении полем с ортогональной поляризацией полем, поляризованным в плоскости или в плоскости Проводимости гармопик непрерывного спектра при такой поляризации пропорциональны обратным величинам выражения и (32) - (34)].

Зная выражения для нолей во внутренней области можно найти тангенциальные составляющие электрического и магнитного полей в апертуре

и

Из граничных условий для в апертуре паходим интегральное уравнение для

где

Как уже говорилось, следует помнить о символическом порядке интегрирования в уравнениях (72) и (73), когда возникает вопрос о сходимости этих интегралов.

При выборе соответствующих ветвей функций у контур интегрирования в интегралах (63) и (73) может проходить вдоль действительной оси (рис. 8.44). Отметим, что форма подынтегрального выражения в уравнении (73) такая, что точки ветвления находятся в нулях функции а в нулях точки ветвления отсутствуют, поскольку подынтегральное выражение является четной функцией

При оценке выражения (73) необходимо учитывать особенности подынтегрального выражения (при , рис. 8.44). Отметим, что нули выражения

совпадают с нулями характеристического уравнения для диэлектрической пластины на плоском экране Из существования нулей следует, что при такой поляризации в пластине могут возбуждаться поверхностные волны. Вычеты в этих полюсах более подробно рассмотрены ниже.

Часть ядра уравнения (73), относящуюся к внешней области, можно записать так, чтобы ее сингулярная часть была вынесена за знак интеграла. Эта операция аналогична операции, которая выполнялась в гл. 5 для выделения квазистатической части поля. Аналогичную операцию можно осуществить для дискретной части ядра уравнения (72), а также для обеих частей ядра при поляризации в плоскости

Рис. 8.44. Контур интегрирования.

Рис. 8.45. Контур интегрирования С для поля в дальней зоне.

В данном случае при как так и становятся чисто мнимыми и подынтегральное выражение принимает вид

Так как при больших и, можно найти некоторое число достаточно большое, чтобы при выполнялось соотношение

В пределе при получим следующее выражение для

в котором сингулярная часть отделена регулярной от части быстро сходящегося оставшегося интеграла.

В интегралах уравнений (63), (73) и (77) при изменении а от до в различных областях значений в спектре ноля в апертуре появляются различные типы волн. Значения соответствуют части спектра, связанной с распространением волн в воздухе и диэлектрике. При возбуждаются волны, захваченные в диэлектрике, т. е. волны, распространяющиеся в диэлектрике и затухающие в воздухе. Остальные волны, соответствующие области значений затухают и в воздухе, и в диэлектрике. Как можно видеть из выражения (77), в нулях функции теперь находятся точки ветвления подынтегрального выражения. Линии разрезов на рис. 8.44 соединяют точку — к с точкой к и точку к с точкой Тот же контур интегрирования и линии разреза можно использовать и при поляризации в плоскости Полюсы поверхностной волны будут лежать на линиях разреза.

Цель преобразования ядра состоит, так же как и в случае квазистатического преобразования для бесконечной решетки, в том, чтобы придать ядру форму, удобную для численной оценки, при которой бесконечную область интегрирования в уравнении (73) требуется свести к конечной. Однако интеграл в выражении (77) сходится гораздо быстрее, чем в уравнении (73), если пределы расширяются Следовательно, после сведения уравнения (73) к уравнению (77) можно с достаточно хорошим приближением перейти от сингулярного интеграла к интегралу с конечными пределами, благодаря чему значительно упрощаются вычисления.

После того как из уравнения (72) найдено поле в апертуре, из выражения (70) можно определить коэффициент отражения Поля для всех значений находятся из выражений (65). Особый интерес представляет оценка выражений (65) в дальней зоне Поле в дальней зоне определяется из выражений (65) методом перевала.

Рассмотрим сначала поле при Пусть

Это преобразование отображает комплексную плоскость в полосу . В комплексной плоскости (рис. 8.45). Вводя преобразования (78) в выражения (65), получаем

где определяется выражением (64). Контур интегрирования С показан на рис. 8.45. Координаты связаны с

соотяошениями

где изменяются по отношению к точке

Для использования метода перевала контур интегрирования С надо преобразовать в контур быстрейшего спуска. Если в процессе преобразования контура некоторые полюсы подынтегрального выражения пересекаются контуром, то исходный интеграл будет равен интегралу по контуру быстрейшего спуска плюс вычеты, в таких полюсах, вычисленные по теореме Коши. Характерные для даппой задачи полюсы, соответствующие поверхностным и вытекающим волнам, исследованы достаточно хорошо [43, 44]. В частности, тщательно изучено влияние так называемых вытекающих волн (комплексные полюсы) на диаграммы направленности линейных источников. Интеграл вдоль контура быстрейшего спуска можно оценить с помощью основного вклада в седловых точках, определяемых выражением

Процедура применения метода перевала близка к обычпой [45]. Окончательные результаты имеют вид

или

где диаграмма направленности определяется выражением

Вычеты в полюсах определяются выражением

Полюсы подынтегрального выражения являются репениями характеристического уравнения (73)

Зависимость полученная для в выражении (80), является характерной для поляризации электрического поля параллельно плоскому экрану (см. разд. 2.2.2).

На рис. 8.46 приведены кривые, отражающие распределение мощностей между излучаемыми поверхностными и отраженными волнами. Волновод (рис. 8.43) возбуждается, падающей волной единичной мощности. Отраженная мощность определяется путем возведения в квадрат коэффициентов отражения [см. выражение

Рис. 8.46. Зависимость мощности излученной отраженной и поверхностной волн от размеров волновода при ого возбуждении волной единичной мощности

Мощность поверхностной волны можно найти, интегрируя вектор Пойнтинга на плоскости (нормальной к направлению распространения поверхностной волны) и определяя вычеты по формулам (80) — (82). Мощность излучения определяется интегрированием поля излучения в выражениях (80) и (81). Из кривых рис. 8.46 следует, что при данных значениях параметров поверхностные волны не возбуждаются, пока

Эта величина соответствует критической длине поверхностной ТЕ-волны [45], которую можно определить из характеристического

уравнения (73):

Результаты расчетов нормированных диаграмм направленности для нескольких длин волн приведены на рис. 8.47. Условием нормирования является следующее выражение:

Излучаемая мощность

Рис. 8.47. Диаграммы направленности

Диаграмма пропорциональна в формулах (80) и (81). Критическая длина волны первой гармоники поверхностной волны определяется при данном выборе параметров соотношением Как видно, при поверхностные волны не возбуждаются, а максимум излучения наблюдается при угле, близком к 90°. По мере приближения длины волны к критическому значению угол максимального излучения приближается к 90°, т. е. к оси излучателя. При дальнейшем увеличении длины волны (за пределы критической) энергия излучения в осевом направлении в конце концов превращается в энергию поверхностной волны. Одновременно с этим возрастает излучение в поперечном направлении.

На рис. 8.48 приведено распределение поля в апертуре, полученное методом моментов с системой волноводных типов волн в качестве базисных функций. Отметим, что часто используемое приближение для поля в апертуре в виде падающей волны не учитывает высшие типы волн, которые возбуждаются при некоторых длинах волн. Эти длины волн приблизительна соответствуют области, в которой возбуждаются поверхностные волны.

Важность вопроса о возбуждении поверхностных волн для проектирования антенной решетки не вызывает сомнений. В конечной решетке на плоском экране с диэлектрическим покрытием на краях может теряться значительная часть мощности, а излучение поверхностных волн приводит к искажению диаграммы направленности

решетки. Более того, если решетка собирается из комбинированных элементов, возбуждение поверхностных волн усложнит анализ взаимной связи, проведенный в предыдущих главах.

Рис. 8.48. Распределение доля в апертуре

Рис. 8.49. Зависимость мощности поверхностной волны от при

Зависимость мощности поверхностной волны (при единичной падающей мощности) от приведена на рис. 8.49 для различных значений толщины диэлектрического покрытия.