Так называется всякий положительный оператор \( S \) с единичным следом:
\[
S \geqslant 0 ; \quad \operatorname{Tr} S=1 .
\]

Множество операторов плотности \( \mathfrak{S}(\mathscr{H}) \) является выпуклым подмножеством вещественного линейного пространства \( \mathfrak{T}_{h}(\mathscr{H}) \); более, того, оно является основанием конуса положительных элементов, порождающего \( \mathfrak{T}_{h}(\mathscr{H}) \). Точка \( S \) выпуклого множества 5 называется крайней, если из того, что \( S=p S_{1}+(1-p) S_{2} \), где \( S_{1}, S_{2} \in \mathcal{S}, 0<p<1 \), следует \( S_{1}=S_{2}=S \). Крайними точками множества \( \mathfrak{S}(\mathscr{C}) \) являются одномерные проекторы
\[
S_{\psi}=|\psi\rangle\langle\psi|,
\]

где \( \psi
otin \mathscr{C},\langle\psi \mid \psi\rangle=1 \). Всякий оператор плотности представим в виде счетной выпуклой комбинации
\[
S=\sum_{j=1}^{\infty} p_{j}\left|\psi_{j}\right\rangle\left\langle\psi_{j}\right|,
\]

где \( \left\langle\psi_{j} \mid \psi_{j}\right\rangle=1, p_{j} \geqslant 0, \sum_{j=1}^{\infty} p_{j}=1 \). Одно из таких представлений дается спектральным разложением оператора \( S \), когда \( \psi_{j} \) являются его собственными векторами, а \( p_{j} \) соответствующими собственными числами.

Рассмотрим множество \( \mathscr{E}(\mathscr{H}) \) проекторов в \( \mathscr{H} \), изоморфное квантовой логике событий (замкнутых линейных подпространств \( \mathscr{C}) \). Вероятностной мерой на \( \mathfrak{E}(\mathscr{C}) \) называется вещественная функция \( \mu \) со свойствами: 1) \( 0 \leqslant \mu(E) \leqslant 1, E \in \mathscr{H}) ; 2 \) ) если \( \left\{E_{j}\right\} \subset \mathscr{G}(\mathscr{H}) \), причем \( E_{j} E_{k}=0 \) при \( j
eq k \) и \( \sum_{j} E_{j}=\mathrm{I} \), то
\[
\sum_{j} \mu\left(E_{j}\right)=\mathrm{I} .
\]

Отвечая на вопрос Макки, Глисон (1957) доказал следующую теорему.

Теорема. Пусть \( \operatorname{dim} \mathscr{H} \geqslant 3 \). Тогда всякая вероятностная мера на \( \mathscr{E}(\mathscr{H}) \) имеет вид
\[
\mu(E)=\operatorname{Tr} S E,
\]

где \( S \) – однозначно определяемый оператор плотности.
Случай \( \operatorname{dim} \mathscr{H}=2 \) является особым – для него легко указать меры, не представимые в виде (1.4), однако они не используются в квантовой теории. Доказательство теоремы Глисона совершенно нетривиально и породило целое направление в некоммутативной теории меры, посвященное всевозможным обобщениям и упрощениям этой теоремы (см. обзор Кручиньского в [141]).
По поводу некоммутативной теории меры и интегрирования см. обзоры Ш. А. Аюпова и А. Н. Шерстнева и другие статьи в сборниках [18], [34].