Соотношение (1.14) принято записывать в дифференциальной форме
\[
d I=M_{0} d \Lambda+M_{1} d A+M_{2} d A^{+}+M_{3} d t .
\]

Пусть \( J(t) \) – другой стохастический интеграл, так что \( d J= \) \( =N_{0} d \Lambda+N_{1} d A+N_{2} d A^{+}+N_{3} d t \).

Теорема. Если четверки \( \left\{M_{\alpha}\right\},\left\{N_{\alpha}\right\} \) сильно допустимы, то произведение \( I(t) J(t) \) является стохастическим интегралом, причем
\[
d(I J)=I(d J)+(d I) J+(d I)(d J),
\]

где произведение вычисляется по следующим формальным правилам: значения любого согласованного процесса в момент \( t \) коммутируют со стохастическими дифференциалами основных процессов \( d \Lambda(t), d A(t), d A^{+}(t), d t \), а в слагаемом \( (d I)(d J) \) троизведения стохастических дифференциалов основных процессов

находятся согласно таблице умножения
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline \multicolumn{5}{|c|}{\( d A^{+} d \Lambda d A d t \)} \\
\hline\( \overline{d A} \) & \( d t \) & \( d A \) & 0 & 0 \\
\hline\( d \Lambda \) & \( d A^{+} \) & \( d \Lambda \) & 0 & 0 \\
\hline\( d A^{+} \) & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\hline\( d t \) & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\hline
\end{tabular}

Алгебра стохастических дифференциалов (1.15) с таблицей умножения (1.16) изоморфна некоторой алгебре \( 3 \times 3 \)-матриц. Особенно удобна реализация, предложенная В. П. Белавкиным в [35]: соответствие
\[
\begin{array}{c}
d I=M_{0} d \Lambda+M_{1} d A+M_{2} d A^{+}+M_{3} d t_{\leftrightarrow} \\
\mathbf{M}=\left[\begin{array}{ccc}
0 & M_{1} & M_{3} \\
0 & M_{0} & M_{2} \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right]
\end{array}
\]

оказывается инволютивным алгебраическим изоморфизмом, переводящим инволюцию \( (d I)^{*}=M_{0} * d \Lambda+M_{2}^{*} d A+M_{1} * d A^{+}+M_{3}^{*} d t \) в инволюцию
\[
\left[\begin{array}{ccc}
0 & M_{1} & M_{3} \\
0 & M_{0} & M_{2} \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right] \star=\left[\begin{array}{ccc}
0 & M_{2}^{*} & M_{3}^{*} \\
0 & M_{0}^{*} & M_{1}^{*} \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right] .
\]

Пример. Рассмотрим стохастические интегралы
\[
B(t)=\int_{0}^{t} J(s) d A(s), B^{+}(t)=\int_{0}^{t} J(s) d A^{+}(s),
\]

где \( J(t)=(-1)^{\Lambda(t)} \) – сильно допустимый процесс. Из формулы (1.24) следующего пункта вытекает, что \( J(t) \) удовлетворяет уравнению
\[
d J=-2 J d \Lambda .
\]

Пользуясь таблицей (1.16), находим
\[
d(B J+J B)=-2(B J+J B) d \Lambda .
\]

Поскольку \( B(0)=0 \), то из теоремы следующего пункта вытекает, что \( B(t) J(t)+J(t) B(t) \equiv 0 \). Снова пользуясь таблицей \( (1.16) \), находим \( d\left(B B^{+}+B^{+} B\right)=d t \), откуда
\[
B(t) B^{+}(t)+B^{+}(t) B(t)=t,
\]
т. е. операторы \( B(t), B^{+}(t) \) удовлетворяют каноническому антикоммутационному соотношению для фермионных операторов рождения-уничтожения. Этот факт лежит в основе изоморфизма между симметричным (бозонным) и антисимметричным (фермионным) пространствами Фока, установленного Хадсоном и Партасарати [109].

Қвантовый стохастический интеграл и формула Ито имеют естественное обобщение на случай многих степеней свободы, когда основные процессы \( A_{j}(t), A_{k}{ }^{+}(t), \Lambda_{j k}(t) \) многомерны и действуют в пространстве Фока \( \Gamma\left(L_{\mathscr{K}}{ }^{2}\left(\mathbf{R}_{+}\right)\right) \), где \( \mathscr{K} \) – гильбертово пространство, размерность которого равна числу степеней свободы (Хадсон, М. П. Эванс [143], В. П. Белавкин [35]), а также в нефоковских пространствах, связанных с гауссовскими состояниями канонических коммутационных соотношений (Хадсон, Линдсей [142]).