Қак и в классической теории статистических решений [50], задается множество значений \( \Theta \) неизвестного параметра \( \theta \), множество \( \mathscr{X} \) решений \( x \) (часто \( \mathscr{X}=\Theta \) ) и функция отклонения \( W_{\theta}(x) \), определяющая качество решения \( x \) при данном значении параметра \( \theta \). Множество \( \mathscr{X} \) измеримое (обычно стандартное) пространство и \( W_{\theta}(x) \) ограничена снизу и измерима по \( x \) при фиксированном \( \theta \in \Theta \).

Қаждому значению \( \theta \) соответствует оператор плотности \( S_{\theta} \) в гильбертовом пространстве рассматриваемой квантовой системы, а решающее правило задается разложением единицы \( \mathbf{M}: \mathscr{B}(\mathscr{X}) \rightarrow \mathscr{B}(\mathscr{H}) \) в \( \mathscr{C} \). Ортогональные разложения единицы описывают детерминированные решающие правила. При данном значении параметра \( \theta \) и данном решающем правиле м решение выбирается в соответствии с распределением вероятностей

\[
\mu_{\theta \theta}^{M}(B)=\operatorname{Tr} S_{\theta} M(B) ; B \in \mathscr{B}(\mathscr{X}) .
\]

Среднее отклонение, определяемое формулой
\[
\mathscr{R}_{\theta}\{\boldsymbol{M}\}=\int_{\mathscr{C}} W_{\theta}(x) \mu_{\theta}^{\boldsymbol{M}}(d x),
\]

является для каждого \( \theta € \Theta \) аффинным функционалом на выпуклом множестве решающих правил \( \mathfrak{P}(\mathscr{X}) \).

Решающее правило называется байесовским, если оно минимизирует байесовский риск
\[
\mathscr{R}_{\pi}\{\mathbf{M}\}=\int_{\Theta} \mathscr{R}_{\theta}\{\mathbf{M}\} \pi(d \theta)
\]

для данного априорного распределения \( \pi \) на \( \Theta \), и минимаксным, если оно минимизирует максимальное среднее отклонение \( \max \mathscr{R}_{\theta}\{\boldsymbol{M}\} \). Как классическая, так и квантовая теории статисти\( \theta \)

ческих решений включаются в общую схему, в которой состояния описываются точками произвольного выпуклого множества \( \mathfrak{S} \), причем значительная часть результатов классической теории Вальда переносится на эту схему, достигая естественных границ общности (А.С. Холево [41]). При минимальных требованиях на функцию отклонений установлены общие условия существования байесовского (Озава [133]) и минимаксного решающих правил, полнота класса байесовских решающих правил (Н. А. Богомолов [8]), аналог теоремы Ханта–Стейна [43], [8]. Обобщения понятия достаточности изучали Умегаки [158], А. С. Холево [41], Петц [139]. В силу ограниченности понятия условного ожидания, в квантовой теории статистических решений достаточность играет гораздо меньшую роль, чем в классической, зато на первый план выходят свойства инвариантности относительно подходящих групп симметрий (см. §3).

На основе соответствующего аппарата интегрирования в [41] получены необходимые и достаточные условия оптимальности и соотношение двойственности в байесовской задаче с произвольными \( \Theta, \mathscr{X} \), обобщающие теорему из п. 2.2. Эти условия позволяют, в частности, дать исчерпывающее решение многомерной байесовской задачи оценивания среднего значения гауссовских состояний (В. П. Белавкин, Б. А. Гришанин [5], А. С. Холево [41]), которое иллюстрируется здесь одним примером.

В задаче оценивания \( \Theta=\mathscr{X} \) является конечномерным многообразием, в частности, областью в \( \mathbf{R}^{n} \). В этом случае детерминированное решающее правило может быть задано набором совместимых вещественных наблюдаемых \( X_{1}, \ldots, X_{n} \) в \( \mathscr{H} \). Согласно п. 1.2, произвольное решающее правило задается набором совместимых наблюдаемых \( X_{1}, \ldots, X_{n} \) в расширении \( \mathscr{C} \) вида \( \mathscr{H} \otimes \mathscr{H}_{0} \), где \( \mathscr{H}_{0} \) – вспомогательное гильбертово пространство с оператором плотности \( S_{0} \). При таком способе задания решающее правило называется оценкой многомерного параметра \( \theta=\left(\theta_{1}, \ldots, \theta_{n}\right) \). В квантовой задаче оценивания, в отличие от классической, байесовские оценки могут оказаться существенно недетерминированными.

Пример. Пусть \( \left\{S_{\alpha, \beta} ;(\alpha, \beta) \in \mathbf{R}^{2}\right\} \) – семейство гауссовских состояний (см. п. 1.2.4) с характеристической функцией
\[
\begin{array}{c}
\operatorname{Tr} S_{\alpha, \beta} \exp [i(P x+Q y)]=\exp [i(\alpha x+\beta y)- \\
\left.-\frac{\sigma^{2}}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)\right] ;(x, y) \in \mathbf{R}^{2},
\end{array}
\]

где \( P, Q \) – канонические наблюдаемые, \( \sigma^{2} \geqslant \frac{1}{2} \). Рассмотрим байесовскую задачу оценивания параметра \( \theta=(\alpha, \beta) \) с функцией отклонения
\[
W_{\alpha, \beta}\left(\alpha^{\prime}, \beta^{\prime}\right)=g_{1}\left(\alpha-\alpha^{\prime}\right)^{2}+g_{2}\left(\boldsymbol{\beta}-\boldsymbol{\beta}^{\prime}\right)^{2}
\]

и гауссовским априорным распределением вероятностей с плотностью \( (2 \pi)^{-1} \exp \left(-\frac{\sigma_{0}^{2}}{2}\left(\alpha^{2}+\beta^{2}\right)\right) \). Решение этой задачи качественно зависит от величины \( g_{1} / g_{2} \). Если \( g_{1} / g_{2} \leqslant\left(2 s^{2}\right)^{-2} \) или \( g_{1} / g_{2} \geqslant \) \( \geqslant\left(2 s^{2}\right)^{2} \), где \( s^{2}=\sigma^{2}+\sigma_{0}^{2} \), то байесовские оценки детерминированы, т. е. задаются парой перестановочных самосопряженных операторов \( A, B \) в \( \mathscr{H} \). В первом случае \( A=\left(\frac{\sigma_{0}}{s}\right)^{2} P, B=0 \), а во втором \( A=0, B=\left(\frac{\sigma_{0}}{s}\right)^{2} Q \). Если же \( \left(2 s^{2}\right)^{-2} \leqslant g_{1} / g_{2} \leqslant\left(2 s^{2}\right)^{2} \), то оценки задаются перестановочными операторами
\[
A=k_{1}\left(P_{\otimes} \mathrm{I}_{0}\right)+k_{2}\left(\mathrm{I}_{\otimes} P_{0}\right), B=k_{2}(Q \otimes \mathrm{I})-k_{1}\left(\mathrm{I}_{\otimes} Q_{0}\right)
\]

в \( \mathscr{G} \otimes \mathscr{H}_{0} \) (ср. (1.7)), где \( k_{1}, k_{2} \) – коэффициенты, нелинейно зависящие от \( s^{2}, g_{1}, g_{2} \), а оператор плотности \( S_{0} \) в \( \mathscr{H}_{0} \) гауссовский и имеет характеристическую функцию
\[
\begin{array}{c}
\operatorname{Tr} S_{0} \exp \left[i\left(P_{0} x+Q_{0} y\right)\right]= \\
=\exp \left[-\frac{1}{4}\left(\sqrt{\frac{g_{2}}{g_{1}}} \frac{k_{1}}{k_{2}} x^{2}+\sqrt{\frac{g_{1}}{g_{2}}} \frac{k_{2}}{k_{1}} y^{2}\right)\right] .
\end{array}
\]

Соответствующее разложение единицы в \( \mathscr{H} \) отличается от (1.7) линейной заменой переменных. В отличие от аналогичной классической задачи, зависимость байесовского риска от весов \( g_{1} \), \( g_{2} \) также имеет существенно нелинейный характер.