При специальных предположениях относительно \( G, \mathscr{X}, \mathbf{V} \) можно дать прямое решение уравнения ковариантности (3.1), проливающее свет и на общий случай.

Пусть \( G \) – унимодулярна, а \( G_{0}=G / \mathscr{X} \) компактна, тогда на \( G \) существует \( \sigma \)-конечная инвариантная мера \( \mu \), а на \( \mathscr{X} \) конечная инвариантная мера \( v \), такая что \( v(B)=\mu\left(\lambda^{-1}(B)\right) \), где \( \lambda: g \rightarrow g x_{0} \).

Tеорема ([78], [43]). Пусть V – конечномерное представление групы \( G \). Для любого ковариантного разложения единицы \( \boldsymbol{M} \) найдется положительный оператор \( P_{0} \), такой что \( \left[P_{0}, V_{g}\right]=0, g \in G_{0} \) и
\[
M(B)=\int_{B} P(x) v(d x),
\]

где плотность \( P(x) \) определяется соотношением
\[
P\left(g x_{0}\right)=V_{g} P_{0} V_{g} *
\]

Доказательство. Из тождества
\[
\int_{G} \operatorname{Tr} V_{g} S V_{g}^{*} M(B) \mu(d g)=v(B), \quad S \in \mathbb{}(\mathscr{C}),
\]
(см. [43, гл. IV]), полагая \( S=(\operatorname{dim} \mathscr{H})^{-1} \mathrm{I} \), получаем \( \operatorname{Tr} M(B)= \) \( =(\operatorname{dim} \mathscr{H})^{-1} v(B) \). Поэтому существует плотность \( P(x) \) со значениями в \( \mathfrak{T}(\mathscr{C}) \). Соотношение (3.5) вытекает из условия ковариантности.

Ограничение на \( P_{0} \), вытекающее из условия нормировки \( M(\mathscr{X})=\mathrm{I} \), иногда удается выразить явно. Очень просто устроено множество \( \mathfrak{R}^{G, V}(\mathscr{X}) \) в случае, когда \( \mathbf{V} \) есть неприводимое квадратично-интегрируемое представление ( \( \operatorname{dim} \mathscr{H} \leqslant+\infty \) ) унимодулярной группы \( G=\mathscr{X} \). Из соотношений ортогональности для V (см. [126]) следует, что при надлежащей нормировке \( \mu \)
\[
\int_{a} V_{g} S_{0} V_{g}^{*} \mu(d g)=I
\]

для любого оператора плотности \( S_{0} \). Таким образом, формула
\[
M(B)=\int_{B} V_{g} S_{0} V_{g \mu}^{*}(d g)
\]

устанавливает взаимно однозначное аффинное соответствие между \( \mathfrak{R}^{G, V}(G) \) и \( \mathfrak{S}(\mathscr{H}) \). В частности, крайние точки множества \( \mathfrak{R}^{G, V}(G) \) описываются формулой
\[
M(B)=\int_{B}|\psi(g)\rangle\langle\psi(g)| \mu(d g),
\]

где \( \psi(g)=V_{g} \psi_{0} \), а \( \psi_{0} \) – произвольный единичный вектор в \( \mathscr{H} \). Семейство \( \{\psi(g) ; g \in G\} \) образует переполненную систему, называемую в физике обобщенными когерентными состояниями (обычные когерентные состояния отвечают неприводимому представлению ККС и специальному выбору вектора \( \psi_{0} \), см. п. 1.2.4).