В работах Шриниваза [153] и Озавы [136] указана возможность описания воспроизводимых измерений непрерывных наблюдаемых, использующая состояния и инструменты, не удовлетворяющие ус-

ловию нормальности. Пусть \( A=\int_{-\infty}^{\infty} x E_{A}(d x) \) – вещественная наблюдаемая и пусть \( \eta \)-какое-либо инвариантное среднее \( { }^{1 \text { ) }} \) на пространстве \( C(\mathbf{R}) \) ограниченных непрерывных функций на \( \mathbf{R} \). Следуя [153], рассмотрим отображение \( \mathscr{E}_{\eta}{ }^{A} \) алгебры \( \mathfrak{g}(\mathscr{H}) \) в себя, определяемое формулой
\[
\operatorname{Tr} S \mathscr{E}_{\eta}^{A}[X]=\eta_{y}\left(\operatorname{Tr} S e^{i, y A} X e^{-i y A}\right),
\]

где индекс \( y \) означает, что усреднение происходит по переменной \( y \), и функцию множеств
\[
\mathscr{P}_{A}(B)[X]=E_{A}(B) \mathscr{E}_{\eta}^{A}[X] ; \quad B \in \mathscr{B}(\mathbf{R}) .
\]

Отображение \( \mathscr{E}_{\eta}{ }^{A} \) является условным ожиданием на коммутативную подалгебру \( \left\{E_{A}(B) ; B \in \mathscr{B}(\mathbf{R})\right\}^{\prime}=\mathfrak{P}_{A}, \quad \) порожденную наблюдаемой \( A \). Если \( A \) имеет чисто точечный спектр, то \( \mathscr{E}_{\eta} A \) есть нормальное условное ожидание, задаваемое формулой (3.1.5), а соотношение (1.18) совпадает с проекционным постулатом (1.6). В общем случае отображение \( \mathscr{E}_{\eta}{ }^{A} \) не нормальное, а функция множеств (1.18) обладает всеми свойствами воспроизводимого инструмента, кроме нормальности.

Вероятности последовательного измерения наблюдаемых \( A_{1}, \ldots, A_{n} \) даются обобщением формулы (1.16)
\[
\begin{array}{c}
\mu_{S}^{A_{1}, \ldots, A_{n}}\left(B_{1} \times \ldots \times B_{n}\right)= \\
=\operatorname{Tr} S \mathscr{P}_{A_{1}}\left(B_{1}\right)\left[\ldots \mathscr{P}_{A_{n}}\left(B_{n}\right)[1] \ldots\right] .
\end{array}
\]

Если \( A_{1}, \ldots, A_{n} \) совместимы, то \( \mathscr{E}_{\eta}^{A_{j}}\left[E_{A_{k}}(B)\right]=E_{A_{k}}(B) \), откуда
\[
\mu_{S}^{A_{1}, \ldots, A_{n}}\left(B_{1} \times \ldots \times B_{n}\right)=\operatorname{Tr} S E_{A_{1}}\left(B_{1}\right) \ldots E_{A_{n}}\left(B_{n}\right),
\]
т. е. распределение вероятностей последовательных точных измерений совместимых наблюдаемых совпадает с распределением точного совместного измерения этих наблюдаемых (см. п. 1.1.5) – результат, который подтверждает правомерность «обобщенного проекционного постулата» (1.18).

С другой стороны, если \( A_{j} \) несовместимы, то из-за не нормальности отображений \( \mathscr{E}_{\eta}^{A_{j}} \), функция множеств (1.18) может оказаться лишь конечно аддитивной на \( \mathscr{B}(\mathbf{R}) \). Для того чтобы восстановить \( \sigma \)-аддитивность, необходимо рассматривать распределение на компактификации вещественной прямой \( \overline{\mathbf{R}}= \) \( =\mathbf{R} \bigcup\{-\infty\} \cup\{\infty\} \). Например, после точного измерения наблюдаемой координаты \( Q \) система переходит в не нормальное состояние, в котором импульс \( P \) с положительными вероятностями принимает значения \( \pm \infty[153] \).
1) См. Ф. Гринлиф. Инвариантные средние на топологических груmax и их приложения.- М.: Мир, 1973.

Озава [136] построил процесс косвенного измерения, отвечающий обобщенному проекционному постулату (1.18) и разъяснил роль инвариантного среднего \( \eta \). Рассмотрим наблюдаемые \( Q, P \) во вспомогательном гильбертовом пространстве \( \mathscr{H}_{0}= \) \( =L^{2}(\mathbf{R}) \), которое будет описывать «пробную систему». Пользуясь теоремой Банаха о продолжении, можно показать, что для любого \( \eta \) на алгебре \( \mathfrak{Y}\left(\mathscr{H}_{0}\right) \) существует (не нормальное) состояние \( E_{\eta} \), такое, что
\[
E_{\eta}(f(Q))=f(Q), E_{\eta}(f(P))=\eta(f),
\]

для любой \( f \in C(\mathbf{R}) \). Пусть \( U_{t}=\exp \left(-i t H_{\mathrm{int}}\right) \) – унитарная эволюция в \( \mathscr{H} \otimes \mathscr{H}_{0} \), где
\[
H_{\mathrm{int}}=\lambda(A \otimes P),
\]

причем \( \lambda \) может бычь выбрано произвольно большим, чтобы пренебречь свободной динамикой системы и прибора. В [136] показано, что для любого (нормального) состояния \( S \) и любого \( X \in \mathcal{B}(\mathscr{H}) \)
\[
\operatorname{Tr} S \mathscr{P}_{A}(B)[X]=\left(E_{S} \otimes E_{\eta}\right)\left(U_{1 / \lambda}^{*}\left(X \otimes E_{Q}(B)\right) U_{1 / \lambda}\right) ; \quad B \in \mathscr{B}(\mathbf{R}) .
\]

Таким образом, пробная система, находящаяся в состоянии \( E_{\eta} \) с точно определенной координатой, в течение времени \( 1 / \lambda \) взаимодействует с наблюдаемой системой согласно (1.21), после чего производится точное измерение координаты пробной системы.

Такая схема является обобщением процедуры косвенного измерения, рассмотренной фон Нейманом в случае чисто точечного спектра ([26, гл. VI, п. 3]). В принципиальном плане она сводит измерение произвольной квантовой наблюдаемой к измерению координаты пробной системы, при условии реализуемости гамильтониана взаимодействия (1.21).