Это отделимая статистическая модель (см. п. 0.2), в которой состояния описываются операторами плотности, а вещественные наблюдаемые – разложениями единицы на \( \mathscr{B}(\mathbf{R}) \) в гильбертовом пространстве \( \mathscr{C} \). Функциональная подчиненность наблюдаемых определяется соотношением \( \left(f_{\circ} M\right)(B)=M\left(f^{-1}(B)\right) \). Если \( \mathscr{X} \) – измеримое пространство, то обобщенной наблюдаемой (наблюдаемой) со значениями в \( \mathscr{X} \) называется произвольное (ортогональное) разложение единицы М на \( ^{\circ}(\mathscr{B}) \). Распределение вероятностей обобщенной наблюдаемой \( \boldsymbol{M} \) в состоянии \( S \) определяется формулой
\[
\mu_{S}^{M}(B)=\operatorname{Tr} S M(B) ; \quad B \in \mathscr{B}(\mathscr{X}) .
\]

Основанием для этих определений служит
Предложение ([143, гл. 2]). Соответствие \( S \rightarrow \mu_{S}^{M} \) является аффинным отображением выпуклого множества квантовых состояний \( \mathfrak{S}(\mathscr{H}) \) в множество вероятностных мер \( \mathfrak{P}(\mathscr{X}) \). Обратно, всякое аффинное отображение из \( \mathfrak{S}(\mathscr{H}) \) в \( \mathfrak{P}(\mathscr{Z}) \) имеет вид \( S \rightarrow \mu_{S}^{M} \), где \( \mathbf{M} \) – однозначно определенное разложение единицы на \( \mathscr{B}(\mathscr{X}) \).

Аффинность означает, что смесь состояний переходит в соответствующую смесь распределений
\[
\mu_{\sum p_{j} s_{j}}^{M}=\sum_{j} p_{j} \mu_{s_{j}}^{\mathbf{M}},
\]

для любых \( S_{j} \in \subseteq(\mathscr{H}) ; p_{j} \geqslant 0, \underset{j}{\Sigma} p_{j}=1 \), и имеет прямое истолкование в терминах статистических ансамблей. Можно сказать, что разложение единицы дает наиболее общее описание статистики исходов квантового измерения, совместимое с вероятностной интерпретацией квантовой механики.

Опираясь на теорему Наймарка, можно доказать, что для любого разложения единицы \( \mathbf{M} \) в \( \mathscr{C} \) найдутся гильбертово пространство \( \mathscr{\mathscr { C }}_{0} \), оператор плотности \( S_{0} \) в \( \mathscr{\mathscr { C }}_{0} \) и ортогональное разложение единицы Е в \( \mathscr{H} \otimes \mathscr{H}_{0} \), такие что
\[
\mu_{S}^{\mathbf{M}}(B)=\operatorname{Tr}\left(S \otimes S_{0}\right) E(B) ; \quad B \in \mathscr{B}(\mathscr{X}),
\]

для всех \( S \in \Subset(\mathscr{H}) \) или \( M(B)=\mathscr{E}_{0}(E(B)) \), где \( \mathscr{E}_{0} \) – условное ожидание относительно состояния \( S_{0} \), определяемое аналогично формуле (1.3.1). Таким образом, разложение единицы описывает статистику измерения обычной наблюдаемой в некотором расширении исходной системы, содержащем вспомогательную независимую систему в состоянии \( S_{0} \), что говорит о согласованности понятия обобщенной наблюдаемой со стандартной формулировкой квантовой механики.

Примере Векторы состояний минимальной определенности (1.2.15) образуют переполненную систему в \( \mathscr{H}=L^{2}(\mathbf{R}) \),
\[
\left.\frac{m}{2 \pi} \int_{\mathrm{R}^{2}} \int_{x, v}\right\rangle\left\langle\psi_{x, v}\right| d x d v=\mathrm{I}
\]
([12], [21]), что позволяет определить обобщенную наблюдаемую со значениями в \( \mathbf{R}^{2} \)
\[
M(B)=\frac{m}{2 \pi} \iint_{B}\left|\psi_{x, v}\right\rangle\left\langle\psi_{x, v}\right| d x d v .
\]

Укажем конструкцию, которая связывает \( \mathbf{M} \) с приближенным совместным измерением координаты и скорости квантовой частицы. Пусть \( \mathscr{H}_{0}=L^{2}(\mathbf{R}), P_{0}, Q_{0} \) – канонические наблюдаемые в \( \mathscr{H}_{0} \) и \( S_{0}=\left|\psi_{0,0}\right\rangle\left\langle\psi_{0,0}\right| \) – основное состояние в \( \mathscr{H}_{0} \). Самосопряженные операторы
\[
\tilde{Q}=Q \otimes \mathrm{I}_{0}-\mathrm{I} \otimes Q_{0}, \quad \frac{1}{m} \tilde{P}=\frac{1}{m}\left[P \otimes \mathrm{I}_{0}+\mathrm{I} \otimes P_{0}\right]
\]

в \( \mathscr{C} \otimes \mathscr{H}_{0} \) перестановочны \( { }^{1)} \), а значит, имеют совместную спектральную меру \( E(d x d v) \). Используя аппарат характеристических
1) На это указал \( \mathrm{H} \). Бор в статье «О понятиях причинности и дополнительности» (1948) (см. Избранные научные труды.- М.: Наука,.1971.- 2.C. \( 391-398) \).

функций из п. 1.2.4, можно доказать, что для любого состояния распределение вероятностей обобщенной наблюдаемой (1.6).
\[
\mu_{S}^{\mathrm{M}}(B)=\frac{m}{2 \pi} \int_{B} \int_{x, v}\left\langle\psi_{\psi_{x, v}}\right\rangle d x d v
\]

удовлетворяет соотношению (1.5), т. е. совпадает с совместным распределением вероятностей наблюдаемых \( \widetilde{Q}, \widetilde{P} / m \) в состоянии \( S \otimes S_{0} \) (см. [43, гл. 3]). Относительно приближенных измерений \( Q, P \) см. также [78], [37], [159] и цитированные там работы.