Пусть \( \mathfrak{A} \subset \mathfrak{Y}(\mathscr{H})- \) некоторая \( C^{*} \)-алгебра операторов, т. е. подпространство \( \mathfrak{Y}(\mathscr{H}) \), замкнутое относительно алгебраических операций, инволюции и перехода к пределу по операторной норме (см., например, [32], [9]). Обозначим \( \mathfrak{P}_{n} \) алгебру комплексных \( n \times n \)-матриц. Линейное отображение \( \Phi \) из \( \mathfrak{A} \) в \( \mathfrak{Y}(\mathscr{K}) \) (где \( \mathscr{K} \) гильбертово пространство) называется положительным, если из \( X \in \mathfrak{A}, X \geqslant 0 \) следует \( \Phi[X] \geqslant 0 \), и вполне положительным, если для любого \( n \geqslant 1 \) отображение \( \Phi_{n} C^{*} \)-алгебры \( \mathscr{H} \otimes \mathfrak{M}_{n} \quad \) в \( C^{*} \)-алгебру \( \mathfrak{B}(\mathscr{K}) \otimes \mathfrak{M}_{n} \), определяемое формулой \( \Phi_{n}(X \otimes Y)=\Phi_{n}(X) \otimes Y \), является положительным. Другими словами, для любой матрицы \( \left[X_{j k}\right]_{j, k=1}, \ldots, n \) с элементами \( X_{i k} \in \mathscr{A} \), положительно определенной в том смысле, что \( \sum_{k=1}^{n}\left\langle\varphi_{j} \mid X_{j k} \varphi_{k}\right\rangle \geqslant 0 \) для любого набора \( \left\{\varphi_{j}\right\} \subset \mathscr{H} \), матрица \( \left[\Phi\left(\dot{X}_{j k}^{k=1}\right)\right]_{j, k=1, \ldots, n} \) также является положительно определенной. Еще одно эквивалентное определение: для любых конечных на-

боров \( \left\{X_{j}\right\} \subset \mathscr{A} \) и \( \left\{\psi_{j}\right\} \subset \mathscr{K} \)
\[
\sum_{j, k}\left\langle\psi_{j} \mid \Phi\left[\dot{X}_{j}^{*} X_{k}\right] \psi_{k}\right\rangle \geqslant 0 .
\]

Для положительного отображения имеет место неравенство Кэдисона-Шварца
\[
\Phi[X]^{*} \Phi[X] \leqslant\|\Phi\| \Phi\left[X^{*} X\right]
\]

для всех \( X є \mathscr{A} \) таких, что \( X^{*} X=X X^{*} \). Если \( \Phi \) вполне положительно, то это неравенство выполняется для всех \( X є \Re \). Пример положительного, но не вполне положительного отображения транспонирование в \( \mathfrak{P}_{n} \). Если \( \Phi \) положительно и \( \mathfrak{A} \), либо \( \Phi(\mathfrak{A}) \) коммутативны, то Ф вполне положительно. Таким образом, свойство полной положительности проявляется лишь в некоммутативной ситуации.

Отображение \( \pi: \mathfrak{I} \rightarrow \mathfrak{F}(\tilde{\mathscr{H}}) \) называется *-гомоморфизмом (представлением), если оно сохраняет алгебраические операции и инволюцию.

Т е орема (Стайнспринг, 1955). Пусть \( \mathfrak{A} \subset \mathfrak{B}(\mathscr{C})-C^{*} \)-алгебра с единицей и \( \Phi: \mathfrak{A} \rightarrow \mathfrak{B}\left(\mathscr{K}^{\mathcal{R}}\right) \) – линейное отображение. Ф вполне положительно тогда и только тогда, когда оно допускает представление
\[
\Phi\left[\lambda^{*}\right]=V^{*} \pi[X] V,
\]

где \( V \)-ограниченное линейное отображение из \( \mathscr{K} \) в некоторое гильбертово пространство \( \tilde{\mathscr{K}}, \pi \)-*-гомоморфизм \( \mathfrak{A} \) в \( \mathfrak{B}(\tilde{\mathscr{H}}) \).

Существует единственное с точностью до унитарной эквивалентности минимальное представление (1.3), характеризующееся свойством: подпространство \( \{\pi[\dot{\lambda}] V \psi: X \in \mathfrak{A}, \psi \in \mathscr{K}\} \) плотно в \( \check{\mathscr{K}} \).

Доказательство прямого утверждения представляет собой обобщение конструкции Гельфанда-Наймарка-Сигала (ГНС), которая соответствует случаю положительного линейного функционала на \( \mathfrak{A}(\operatorname{dim} \mathscr{K}=1) \) [32], [9]. На алгебраическом тензорном пронзведении \( \mathfrak{A} \otimes \mathscr{K} \) определяется (псевдо-) скалярное произведение, такое что
\[
\langle X \otimes \varphi \mid Y \otimes \psi\rangle=\left\langle\varphi \mid \Phi\left[X^{*} Y\right] \Psi\right\rangle_{\mathscr{a}} \mathscr{K} ; \quad X, Y \in \mathscr{A} ; \varphi, \psi \in \mathscr{K} .
\]

Неотрицательность скалярного квадрата следует из (1.1). Пусть \( \widetilde{\mathscr{K}} \) гильбертово пространство, получающееся в результате факторизации и пополнения \( \mathfrak{A} \otimes \mathscr{H} \) по этому скалярному произведению. Соотношения
\[
\begin{array}{c}
\pi[X](Y \otimes \psi)=X Y \otimes \psi, \\
V \varphi=I \otimes \varphi
\end{array}
\]

определяют переходом в \( \tilde{\mathscr{K}} \) объекты \( V \), л, удовлетворяющие соотношению (1.3).

Замечание. Если \( \mathscr{X} \) – метризуемый компакт и \( \boldsymbol{M} \) – разложение единицы в \( \mathscr{K} \) на \( \sigma \)-алгебре борелевских подмножеств \( \mathscr{B}(\mathscr{X}) \), то отображение
\[
f \rightarrow \int_{\mathscr{R}} f(x) M(d x) ; \quad f \in C(\mathscr{X})
\]
\( C^{*} \)-алгебры \( C(\mathscr{X}) \) непрерывных комплексных функций на \( \mathscr{X} \) в \( \mathfrak{V}(\mathscr{K}) \) является (вполне) положительным. Теорема Стайнспринга в этом случае дает расширение Наймарка для \( \boldsymbol{M} \), поскольку *-гомоморфизм \( C(\mathscr{X}) \) задается ортогональным разложением единицы.

Всякая алгебра фон Неймана 8 является \( C^{*} \)-алгеброй с единицей. Положительное отображение \( \Phi \) алгебры \( \mathfrak{B} \) называется нормальным, если из \( X_{\alpha} \uparrow X \) в в следует \( \Phi\left[X_{\alpha}\right] \uparrow \Phi[X] \).

Следствие ([117]). Всякое нормальное вполне положительное отображение \( \Phi: \mathfrak{B}(\mathscr{H}) \rightarrow \mathfrak{Y}(\mathscr{H}) \) имеет вид
\[
\Phi[\ddot{\Lambda}]=\sum_{n=1}^{\infty} V_{n}^{*} \dot{\Lambda} V_{n},
\]

где ряд \( \sum_{n=1}^{\infty} V_{n}^{*} V_{n} \) сходится сильно в \( \mathfrak{B}(\mathscr{H}) \).
Доказательство. Если Ф нормально, то представление \( \pi \) в формуле (1.3) также можно считать нормальным. Известно, что всякое нормальное представление алгебры \( \mathfrak{Z}(\mathscr{L}) \) в пространстве \( \tilde{\mathscr{K}} \) кратно единичному, т. е. \( \tilde{\mathscr{H}}=\mathscr{H} \otimes \mathscr{H}_{0} \) и \( \pi[\boldsymbol{\lambda}]= \) \( =X \otimes \mathrm{I}_{0} \), где \( \mathscr{H}_{0} \) – некоторое гильбертово пространство, \( I_{0} \) – единичный оператор в \( \mathscr{H}_{0} \) (см., например, [78, гл. 9]). Пусть \( \left\{e_{j}\right\} \)-ортонормированный базис в \( \mathscr{H}_{0} \), тогда \( V \psi=\sum_{n=1}^{\infty} V_{n} \psi \otimes e_{n} \), а соотношение (1.3) переходит в (1.4).

Обзор свойств вполне положительных отображений имеется в статье Штермера в сборнике [85]. Андо и Чой [57] рассмотрели н елин ейны е вполне положительные отображения и установили для них обобщение теоремы Стайнспринга.