Пусть \( \mathscr{y} \) – пространство всех вещественных функций на \( \mathbf{R}, \mathscr{B}_{a, b} \) – \( \sigma \)-алгебра, порождаемая приращениями \( y(s)-y(t) ; a \leqslant t<s \leqslant b \). Инструментальным процессом с независимьми приращениями (и. -процессом) называется семейство \( \left\{\mathscr{N}_{a, b} ; a, b \in \mathbf{R}, a \leqslant b\right\} \), где \( \mathscr{P}_{a, b} \) – инструмент (в алгебре наблюдаемых) со значениями в \( \left(\mathscr{Y}, \mathscr{B}_{a, b}\right. \) ), причем
\[
\mathscr{N}_{a, b}(E) \cdot \mathscr{P}_{b, c}(F)=\mathscr{P}_{a, c}(E \cap F),
\]

если \( a \leqslant b \leqslant c \) и \( E
otin \mathscr{B}_{a, b}, F \in \mathscr{B}_{b, c} \). Если все инструменты \( \mathscr{N}_{a, b} \) вполне положительны, то и.-процесс называется вполне положительным. Для любого оператора плотности \( S \) и временного промежутка \( [a, b] \) и.-процесс определяет распределение вероятностей
\[
\mu_{B}(E)=\operatorname{Tr} S \mathscr{N}_{a, b}(E)[1] ; \quad E \in \mathscr{B}_{a, b},
\]

на пространстве траекторий \( y(t) ; t \in[a, b] \). С физической точки зрения, исходом непрерывного измерения является производная \( \dot{y}(t) \), однако оказывается, что распределение (2.18) сосредоточено на недифференцируемых функциях. Это определение, данное в [102], является модификацией определения Дэвиса [78], использовавшего лишь пространство скачкообразных функций и более общего определения Баркиелли, Ланца, Проспери [59], основанного на пространстве обобщенных функций. В случае \( \operatorname{dim} \mathscr{C}=1 \) и.-процессы – это обычные вещественные процессы с независимыми приращениями. Всякий и.-процесс однознацчно определяется набором своих конечномерных распределений, которые в силу (2.17) имеют следующую структуру

\[
\begin{array}{c}
\mathscr{P}_{\tau_{0}, \tau_{p}}\left(y(\cdot): y\left(\tau_{1}\right)-y\left(\tau_{0}\right) \in B_{1}, \ldots, y\left(\boldsymbol{\tau}_{p}\right)-y\left(\boldsymbol{\tau}_{p-1}\right) \in B_{p}\right)= \\
=\mathscr{P}_{\tau_{0}, \tau_{1}}\left(y(\cdot): y\left(\tau_{1}\right)-y\left(\tau_{0}\right) \in B_{1}\right) \ldots \\
\ldots \mathscr{P}_{\tau_{p-1}, \tau_{p}}\left(y(\cdot): y\left(\boldsymbol{\tau}_{p}\right)-y\left(\tau_{p-1}\right) \in B_{p}\right),
\end{array}
\]

где \( \boldsymbol{\tau}_{0} \leqslant \boldsymbol{\tau}_{1} \leqslant \ldots \leqslant \boldsymbol{\tau}_{p} ; B_{1}, \ldots, B_{p} \in \mathscr{B}(\mathrm{R}) \).
И.-процесс называется однородным, если для любых \( a, b \), \( \tau \in \mathbf{R} \) выполняется
\[
\mathscr{P}_{a+\tau, b+\tau}\left(T_{\tau}(E)\right)=\mathscr{P}_{a, b}(E), \quad E \in \mathscr{B}_{a, b},
\]

где \( \left(T_{\tau} y\right)(t)=y(t+\tau) \). Соотношение
\[
\mathscr{P}_{t}(B)=\mathscr{P}_{a, a+t}(y(\cdot): y(a+t)-y(a) \in B) ; \quad B \in \mathscr{B}(\mathbf{R}),
\]

определяет тогда сверточную полугруппу инструментов, через которую конечномерные распределения выражаются по формуле
\[
\begin{array}{c}
\mathcal{P}_{\tau_{0}, \tau_{p}}\left(y(\cdot): y\left(\tau_{1}\right)-y\left(\tau_{0}\right) \in B_{1}, \ldots, y\left(\tau_{p}\right)-y\left(\tau_{p-1}\right) \in B_{p}\right)= \\
=\mathcal{N}_{\tau_{1}-\tau_{0}}\left(B_{1}\right) \cdot \ldots \cdot \mathscr{P}_{\tau_{p}-\tau_{p-1}}\left(B_{p}\right) .
\end{array}
\]

Если и.-процесс непрерывен в том смысле, что
\[
\lim _{t \rightarrow 0}\left\|\mathscr{P}_{a, a+t}(y(\cdot):|y(a+t)-y(a)| \geqslant \varepsilon)-\operatorname{Id}\right\|=0
\]

для любого \( \varepsilon>0 \), то соответствуюцая сверточная полугруппа непрерывна в смысле (2.13), и, следовательно, ее характеристические функции имеют вид (2.12), где \( \mathscr{L}(\lambda) \) – некоторая квази. характеристическая функция. Обратно пусть \( \mathscr{L}(\lambda) \) – квазихарактеристическая функция, \( \left\{\mathscr{P}_{t}\right\} \) – соответствующая сверточная полугруппа, тогда соотношение (2.20) определяет конечномерные распределения, продолжающиеся до однородного, непрерывного, вполне положительного и.-процесса \( \left\{\mathcal{N}_{a, b}\right\} \). Более того, модифицируя технику продолжения теории случайных процессов \( { }^{1)} \), можно доказать, что и.-процесс \( \left\{\mathcal{N}_{a, b}\right\} \) сосредоточен на подпространстве \( \mathscr{D} \subset \mathscr{Y} \), состоящем из функций без разрывов второго рода. Функция \( \mathscr{L}(\lambda) \) называется генератором и.-процесca \( \left\{\mathscr{N}_{a, b}\right\} \).

Слагаемое \( \mathscr{L}_{0} \) в формуле (2.14) описывает эволюцию (в общем случае необратимую) рассматриваемой квантовой системы, происходящую независимо от процесса измерения. В классическом случае \( (\operatorname{dim} \mathscr{H}=1) \) это слагаемое вообще отсутствует. Второе слагаемое \( \mathscr{L}_{1}(\lambda) \) описывает процесс непрерывного приближенного измерения наблюдаемой \( A=\sigma^{2}\left(L+L^{*}\right) \). Соответствующий и.-процесс сосредоточен на непрерывных траекториях и отвечает классическому винеровскому процессу. Многомерное обобщение – сумма слагаемых вида (2.11) с разными операторами \( L_{1}, \ldots, L_{m} \) – задает процесс непрерывного приближенного
1) См. И. И. Гихман, А. В. Скороход. Теория случайных процессов.- М.: Наука, 1973.- 2 .

измерения нескольких (вообще говоря, несовместимых) наблюдаемых [60]. Наконец, слагаемое \( \mathscr{L}_{2}(\lambda) \) описывает скачкообразную компоненту процесса измерения.

Пример (ср. [78, гл. 5]). Пусть \( B \rightarrow \mathscr{P}(B) ; \quad B \in \mathscr{B}(\mathbf{R} \backslash 0)- \) функция множеств, удовлетворяющая определению (вполне положительного) инструмента (см. п. 1.1), за исключением условия нормировки 2 ). Таким образом, \( C=\mathscr{P}(\mathbf{R} \backslash 0)[\mathrm{I}] \) – некоторый положительный оператор. Соотношение
\[
\mathscr{L}(\lambda)[X]=\int_{\mathbf{R} \backslash 0} e^{i \lambda x \mathscr{P}}(d x)[X]-C_{0} X+i[H, X]
\]

определяет квазихарактеристическую функцию, представляющую собой первое слагаемое в формуле (2.16). Однородный и.-процесс \( \left\{\mathcal{P}_{a, b}\right\} \) с генератором (2.22) имеет кусочно-постоянные траектории; пусть, например, \( F \subset \mathscr{D} \) – подмножество траекторий, имеющих ровно \( m \) скачков на отрезке \( [a, b] \), причем \( j \)-й скачок происходит на интервале \( \Delta_{j} \subset[a, b] \) и имеет величину \( h_{j} \in B_{j} \), где \( B_{j} \in \mathscr{B}(\mathbf{R} \backslash 0) \). Если интервалы \( \Delta_{1}, \ldots, \Delta_{m} \) следуют друг за другом без пересечений, то
\[
\begin{aligned}
\mathscr{P}_{a, b}(F)=\int_{\Delta_{1}} & \ldots \int_{\Delta_{m}} e^{\left(t_{1}-a\right)} \mathscr{L}_{0} \cdot \mathscr{P}\left(B_{1}\right) \cdot \ldots \mathscr{P}\left(B_{m}\right) \times \\
& \times e^{\left(b-t_{m}\right) \mathscr{L}_{0}} d t_{1} \ldots d t_{m},
\end{aligned}
\]

где \( \mathscr{L}_{0}[X]=-C \circ X+i[H, X] \). Особенно просто устроен аналог пуассоновского процесса с генератором
\[
\mathscr{L}(\lambda)[X]=\mu\left(e^{i \lambda h} U^{*} X U-X\right)+i[H, X],
\]

где \( U \) – изометрический оператор. Это считающий процесс [154], для которого скачки траектории фиксированной величины \( h \) происходят в случайные моменты времени, имеющие экспоненциальное распределение с параметром \( \mu>0 \). В момент скачка состояние преобразуется по формуле \( S \rightarrow U S U^{*} \), а между скачками эволюционирует согласно закону
\[
S \rightarrow e^{-\mu t} e^{-i H t} S e^{i H t} .
\]

Рассмотрим вкратце вопрос о сходимости повторных измерений к процессу непрерывного измерения. Пусть временная ось \( \mathbf{R} \) разбита на промежутки \( \left[t_{i}^{(n)}, t_{i+1}^{(n)}\right] \) длины \( 1 / n \), и каждому моменту времени отвечает измерение, описываемое вполне положительным инструментом \( \mathscr{P}_{(n)} \) с характеристической функцией \( \Phi_{(n)}(\lambda) \). Серия таких повторных измерений естественным образом определяет и.-процесс \( \left\{\mathscr{P}_{a, b}\right\} \), траекториями которого являются кусочно-постоянные функции (см. [102]). Обозначим
\[
\mu_{S, X}^{(n)}(B)=\operatorname{Tr} S \mathscr{N}_{a, b}^{(n)}(E)[\lambda] ; \quad E \in^{*} \mathscr{B}_{a, b},
\]

где \( X \geqslant 0 \).

Теорема. Пусть существует \( \tau \)-непрерывный предел
\[
\tau-\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\Phi_{(n)}(\lambda)-\mathrm{I} \mathrm{d}\right)=\mathscr{L}(\lambda),
\]

причем \( \sup \sup ^{n}\left\|\Phi_{(n)}(\lambda)-\mathrm{Id}\right\|<\infty \). Тогда последовательность мер \( \left\{\mu_{S, X}^{(n)}\right\}^{n} \) сходится в топологии Скорохода к мерам
\[
\mu_{s, X}(E)=\operatorname{Tr} S \mathcal{P}_{a, b}(E)\left[\tilde{X}^{*}\right],
\]

где \( \left\{\mathscr{N}_{a, b}\right\} \) – однородный вполне положительный и.-процесс с генератором \( \mathscr{L}(\lambda) \).

В частности, последовательность повторных приближенных измерений наблюдаемой \( A \) из примера п. 2.3 сходится к процессу непрерывного измерения с генератором (2.11).

В случае \( \operatorname{dim} \mathscr{H}=1 \) этот результат переходит в теорему А. В. Скорохода о сходимости сумм независимых случайных величин к процессу с независимыми приращениями.

Знание генератора и.-процесса позволяет в принципе определить основные вероятностные характеристики распределения (2.18) в пространстве траекторий, в частности, произвольные смешанные моменты [60]. На этом основаны квантово-статистические приложения рассматриваемой теории. В работе [103] проведено сравнение оценок неизвестной силы, действующей на открытую квантовую систему, построенных на основе различных процессов непрерывного измерения. Статистика считающих процессов рассматривалась в работах [154], [18].