При рассмотрении процессов непрерывного измерения естественно возникает понятие безграничной делимости инструмента, которое объединяет безграничную делимость распределений вероятностей и динамических отображений. В работе Баркиелли и Лупиери (см. [61], [142]) указано соответствующее расширение в пространстве Фока, которое можно рассматривать как конкретизацию общего результата Озава (п. 4.1.2) для процессов измерения, протекающих во времени. Ограничимся здесь двумя наиболее важными примерами.

Пример 1. Рассмотрим и.-процесс \( \left\{\mathcal{P}_{a, b}^{(1)}\right\} \) с генератором
\[
\mathscr{L}^{(1)}(\lambda)[X]=\mathscr{L}\left[\lambda^{*}\right]+i \lambda\left(L^{*} X+\dot{A}^{*} L\right)-\frac{1}{2} \lambda^{2} X,
\]

где \( L, H=H^{*} \) – ограниченные операторы в гильбертовом пространстве \( \mathscr{H} \), а \( \mathscr{L}[X] \) дается формулой (2.3). Согласно п. 4.2.3, это есть процесс непрерывного измерения наблюдаемой \( A=\left(L+L^{*}\right) \) в системе, эволюционирующей с гамильтонианом \( H \). Из результата Баркиелли и Лупнери следует, что
\[
\mathcal{P}_{0, t}^{(1)}(E)[X]=\mathscr{E}_{0}\left[V(t)^{*}\left(X \otimes P_{0, t}^{(1)}(E)\right) V(t)\right] ; \quad E \in \mathscr{B}_{0, t}, \quad(2.16)
\]

где \( \{V(t)\} \)-семейство унитарных операторов в гильбертовом пространстве \( \mathfrak{K}=\mathscr{H} \otimes \Gamma\left(L^{2}\left(\mathbf{R}_{+}\right)\right) \), удовлетворяющее квантовому стохастическому дифференциальному уравнению (1.26), а \( P_{0, t}^{(1)}(E) \); \( E \in \mathscr{B}_{0, t} \), спектральная мера семейства совместимых наблюдаемых \( Q(s) ; 0 \leqslant s \leqslant t \), в \( \Gamma\left(L^{2}\left(\mathbf{R}_{+}\right)\right) \)(см. п. 4.2 .1 ) (в силу однородности аналогичное представление имеет место и для \( \mathcal{P}_{a, b}^{(1)} \), где \( a \leqslant b \) ).

Пусть \( \left\{\mathscr{x}_{a, b}^{(1)}\right\} \)-соответствующий и.-процесс в пространстве состояний. Тогда соотношение (2.16) приобретает вид формулы (4.1.10)
\[
\begin{aligned}
\mathscr{K}_{0, t}^{(1)}(E)[S]= & \operatorname{Tr}_{\Gamma\left(L^{2}\left(R_{+}\right)\right)} V(t)\left(S \otimes\left|\psi_{0}\right\rangle\left\langle\psi_{0}\right|\right) \times \\
& \times V(t)^{*}\left(\mathrm{I} \otimes P_{0, t}^{(1)}(E)\right),
\end{aligned}
\]

которая имеет ясную физическую интерпретацию: наблюдаемая система, первоначально находившаяся в состоянии \( S \) и эволюционирующая с гамильтонианом \( H \), взаимодействует с квантовым шумом посредством сингулярного гамильтониана (2.6). При этом над квантовым шумом, который играет роль пробной системы, производится непрерывное неразрушающее измерение семейства совместимых наблюдаемых \( Q(s) ; 0 \leqslant s \leqslant l \).
Пример 2. Иі.-процесс \( \left\{\mathcal{N}_{a, b}^{(2)}\right\} \) с генератором
\[
\mathscr{L}^{(2)}(\lambda)[\dot{X}]=i[H, \dot{\lambda}]+\left(L^{*} X L e^{i \lambda}-L^{*} L \circ \bar{\lambda}\right),
\]

где \( H, L \in \mathfrak{B}(\mathscr{H}) \), я вляется естественным обобщением считающего процесса из п. 4.2.5. Для этого процесса расширение имеет вид
\[
\mathscr{P}_{0, t}^{(2)}(E)=\mathscr{E}_{0}\left[V(t)^{*}\left(\left[\mathbb{P _ { 0 , t } ( 2 )}(E)\right) V(t)\right] ; \quad E \in \mathscr{B}_{0, t},\right.
\]

где \( P_{0, t}^{(2)}(E) ; E
otin \mathscr{B}_{0, t} \), спектральная мера семейства совместимых наблюдаемых \( \Lambda(s) ; \quad 0 \leqslant s \leqslant t \), в \( \Gamma\left(L^{2}\left(\mathbf{R}_{+}\right)\right) \). Соответствуюцее представление в пространстве состояний
\[
\mathscr{M}_{0, t}^{(2)}(E)=\operatorname{Tr}_{\Gamma\left(L^{x}\left(\mathbf{R}_{+}\right)\right)} V(t)\left(S \otimes\left|\psi_{0}\right\rangle\left\langle\psi_{0}\right|\right) V(t)^{*}\left(\mathrm{I} \otimes P_{0, t}^{(2)}(E)\right)(2.20)
\]

имеет интерпретацию, аналогичную соотношению (2.17).

Несколько слов о методе доказательства соотношений (2.16), (2.19). Обозначим
\[
\tilde{\mathscr{P}}_{t}^{(j)}(B)=\mathscr{E}_{0}\left[V(t)^{*}\left(\mathrm{I} \otimes P_{0, t}^{(j)}(y(\cdot): y(t)-y(0) \in B)\right) V(t)\right],
\]

где \( B \in \mathscr{B}(\mathbf{R}) \), и введем характеристические функции
\[
\tilde{\Phi}_{t}^{(j)}(\lambda)=\int_{\mathbf{R}} e^{i \lambda x} \tilde{\mathcal{P}}_{t}^{(j)}(d x) .
\]

Тогда
\[
\tilde{\Phi}_{t}^{(j)}(\lambda)[X]=\mathscr{E}_{0}\left[V(t)^{*}\left(\mathcal{\Lambda}^{*} \otimes e^{i \lambda Y^{(j)}(t)}\right) V(t)\right],
\]

где \( Y^{(1)}(t)=Q(t) \) и \( Y^{(2)}(t)=\Lambda(t) \). Используя квантовую формулу Ито, можно доказать, что функции (2.21) удовлетворяют уравнениям
\[
d \tilde{\Phi}_{t}^{(j)}(\lambda)=\mathscr{L}^{(j)}(\lambda) \cdot \tilde{\Phi}_{t}^{(j)}(\lambda) d t,
\]
T. e.
\[
\tilde{\Phi}_{t}^{(j)}(\lambda)=\exp t \mathscr{L}^{(j)}(\lambda) .
\]

Отсюда вытекает, что \( \left\{\tilde{\mathscr{P}}_{t}^{(j)}\right\} \) есть сверточная полугруппа, отвечающая и.-процессу \( \left\{\mathscr{N}_{a, b}^{(j)}\right\} \). В силу взаимной однозначности соответствия между и.-процессами и сверточными полугруппами (п. 4.2.5) отсюда следуют соотношения̆ (2.16), (2.19).