Неравенство (1.9) и $\mathrm{KKC}(2.11)$ влекут соотношение неопределенностей Гейзенберга
$${\mathbf{D}}_s(P){\mathbf{D}}_s(Q)⩾1/4,$$

из которого видно, что не существует состояния $S$, в котором $P$ и $Q$ одновременно принимали бы некоторые точные значения с вероятностью 1. Состояния, для которых в (2.14) достигается равенство, называются состояниями минимальной неопределенности. Это чистые состояния $S_{x,v}$, определяемые векторами
$${\psi }_{x,v}=W_{x,v}{\psi }_{0,0};(x,v)\in {\mathbf{R}}^2,$$

где ${\psi }_{0,0}$ — вектор основного состояния, в представлении Шрёдингера имеющий вид
$${\psi }_{0,0}(\xi )={\left(2\pi {\sigma }^2\right)}^{-1/4}\exp (-{\xi }^2/4{\sigma }^2).$$

Состояния $S_{x,\text{ v }}$ характеризуются тремя параметрами
$$\begin{array}{l}x={\mathbf{E}}_{S_{x,v}}(Q),v={\mathbf{E}}_{s_{x,v}}(P),\\ {\sigma }^2={\mathbf{D}}_{s_{x,v}}(Q)={[4{\mathbf{D}}_{s_{x,v}}(P)]}^{-1}.\end{array}$$

При фиксированном ${\sigma }^2$ векторы ${\psi }_x,v$ образуют семейство, известное в квантовой оптике как семейство когерентных состояний [12], [21]. Для этих состояний
$${⟨Q-{\mathbf{E}}_{s_{x,v}}(Q)\cdot \mathrm{I},P-{\mathbf{E}}_{S_{x,v}}(P)\cdot \mathrm{I}⟩}_{s_{x,v}}=0.$$

Более широкий класс образуют чистые состояния, для которых достигается равенство в соотношении неопределенностей (1.9) (для $P$ и $Q$ ), но условие (2.16) не обязано выполняться. Эти состояния широко обсуждались в физической литературе под именем сжатых (squeezed) состояний (см., например, [140]). С математической точки зрения все эти состояния входят в класс состояний, являющихся естественным квантовым аналогом гауссовских распределений в теории вероятностей.

Пусть $\{Z,\mathrm{\Delta }\}$ — конечномерное симплектическое пространство с невырожденной кососимметричной формой $\mathrm{\Delta }$ и $z\to W(z)$ — неприводимое представление $К\mathrm{KC}$ в гильбертовом пространстве $\mathcal{H}$. Характеристическая функция оператора плотности $S$ в $\mathcal{H}$ определяется соотношением
$$\phi (z)=\mathrm{Tr}SW(z);z\in Z,$$

и обладает рядом свойств, аналогичных свойствам характеристических функций в теории вероятностей [43, гл. V]. В частности, аналог условия положительной определенности имеет вид
$$\sum _{j,k}{\overline{c}}_j{c}_k\phi (z_j-z_k)\exp \frac{i}{2}\mathrm{\Delta }(z_j,z_k)⩾0$$

для всех конечных наборов $\left\{c_j\right\}\subset \mathbf{C},\left\{z_j\right\}\subset Z$. Состояние $S$ называется гауссовским, если его характеристическая функция имеет вид

$$\phi (z)=\exp [im(z)-\frac{1}{2}\alpha (z,z)],$$

где $m(z)$ — линейная, а $\alpha (z,z^{\prime })$ — билинейная формы на $Z$. Это соотношение задает характеристическую функцию тогда и только тогда, когда выполнено условие
$$\alpha (z,z)\alpha (z^{\prime },z^{\prime })⩾\frac{1}{4}\mathrm{\Delta }{(z,z^{\prime })}^2;z,z^{\prime }\in Z,$$

непосредственно связанное с (2.18). Общее определение для бесконечномерного $Z$ было дано в [127]. В квантовой теории поля такие состояния описывают квазисвободные (обобщенно свободные) поля и носят такое же название. В статистической механике они возникают как равновесные состояния бозе-систем с квадратичным гамильтонианом (см., например, [70], [51]).