Неравенство (1.9) и \( \mathrm{KKC} \mathrm{(2.11)} \) влекут соотношение неопределенностей Гейзенберга
\[
\mathbf{D}_{s}(P) \mathbf{D}_{s}(Q) \geqslant 1 / 4,
\]

из которого видно, что не существует состояния \( S \), в котором \( P \) и \( Q \) одновременно принимали бы некоторые точные значения с вероятностью 1. Состояния, для которых в (2.14) достигается равенство, называются состояниями минимальной неопределенности. Это чистые состояния \( S_{x, v} \), определяемые векторами
\[
\psi_{x, v}=W_{x, v} \psi_{0,0} ;(x, v) \in \mathbf{R}^{2},
\]

где \( \psi_{0,0} \) – вектор основного состояния, в представлении Шрёдингера имеющий вид
\[
\psi_{0,0}(\xi)=\left(2 \pi \sigma^{2}\right)^{-1 / 4} \exp \left(-\xi^{2} / 4 \sigma^{2}\right) .
\]

Состояния \( S_{x, \text { v }} \) характеризуются тремя параметрами
\[
\begin{array}{l}
x=\mathbf{E}_{S_{x, v}}(Q), \quad v=\mathbf{E}_{s_{x, v}}(P), \\
\sigma^{2}=\mathbf{D}_{s_{x, v}}(Q)=\left[4 \mathbf{D}_{s_{x, v}}(P)\right]^{-1} .
\end{array}
\]

При фиксированном \( \sigma^{2} \) векторы \( \psi_{x}, v \) образуют семейство, известное в квантовой оптике как семейство когерентных состояний [12], [21]. Для этих состояний
\[
\left\langle Q-\mathbf{E}_{s_{x, v}}(Q) \cdot \mathrm{I}, \quad P-\mathbf{E}_{S_{x, v}}(P) \cdot \mathrm{I}\right\rangle_{s_{x, v}}=0 .
\]

Более широкий класс образуют чистые состояния, для которых достигается равенство в соотношении неопределенностей (1.9) (для \( P \) и \( Q \) ), но условие (2.16) не обязано выполняться. Эти состояния широко обсуждались в физической литературе под именем сжатых (squeezed) состояний (см., например, [140]). С математической точки зрения все эти состояния входят в класс состояний, являющихся естественным квантовым аналогом гауссовских распределений в теории вероятностей.

Пусть \( \{Z, \Delta\} \) – конечномерное симплектическое пространство с невырожденной кососимметричной формой \( \Delta \) и \( z \rightarrow W(z) \) – неприводимое представление \( К \mathrm{KC} \) в гильбертовом пространстве \( \mathscr{H} \). Характеристическая функция оператора плотности \( S \) в \( \mathscr{H} \) определяется соотношением
\[
\varphi(z)=\operatorname{Tr} S W(z) ; \quad z \in Z,
\]

и обладает рядом свойств, аналогичных свойствам характеристических функций в теории вероятностей [43, гл. V]. В частности, аналог условия положительной определенности имеет вид
\[
\sum_{j, k} \bar{c}_{j} c_{k} \varphi\left(z_{j}-z_{k}\right) \exp \frac{i}{2} \Delta\left(z_{j}, z_{k}\right) \geqslant 0
\]

для всех конечных наборов \( \left\{c_{j}\right\} \subset \mathbf{C},\left\{z_{j}\right\} \subset Z \). Состояние \( S \) называется гауссовским, если его характеристическая функция имеет вид

\[
\varphi(z)=\exp \left[i m(z)-\frac{1}{2} \alpha(z, z)\right],
\]

где \( m(z) \) – линейная, а \( \alpha\left(z, z^{\prime}\right) \) – билинейная формы на \( Z \). Это соотношение задает характеристическую функцию тогда и только тогда, когда выполнено условие
\[
\alpha(z, z) \alpha\left(z^{\prime}, z^{\prime}\right) \geqslant \frac{1}{4} \Delta\left(z, z^{\prime}\right)^{2} ; \quad z, z^{\prime} \in Z,
\]

непосредственно связанное с (2.18). Общее определение для бесконечномерного \( Z \) было дано в [127]. В квантовой теории поля такие состояния описывают квазисвободные (обобщенно свободные) поля и носят такое же название. В статистической механике они возникают как равновесные состояния бозе-систем с квадратичным гамильтонианом (см., например, [70], [51]).