Пусть \( \operatorname{dim} \mathscr{H}=2 \). Базис в \( \mathfrak{O}(\mathscr{H}) \) образован матрицами
\[
\mathrm{I}=\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right], \quad \sigma_{1}=\left[\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right], \quad \sigma_{2}=\left[\begin{array}{rr}
0 & -i \\
i & 0
\end{array}\right], \quad \sigma_{3}=\left[\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right],
\]

где \( \sigma_{i} \)-матрицы Паули. Полагая \( X(\mathbf{a})=\sum_{i=1}^{3} a_{i} \boldsymbol{\sigma}_{i}, \quad \) где \( \mathbf{a}= \) \( =\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right) \in \mathrm{R}^{3} \), имеем
\[
X(\mathbf{a}) \cdot X(\mathbf{b})=(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \mathrm{I}+i X(\mathbf{a} \times \mathbf{b}),
\]

где \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \) – скалярное, \( \mathbf{a} \times \mathbf{b} \)-векторное произведения векторов a, b. Отсюда
\[
\operatorname{Tr} X(\mathbf{a}) X(\mathbf{b})=2 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} .
\]

Всякая матрица плотности однозначно записывается в виде
\[
S(\mathbf{a})=\frac{1}{2}(\mathrm{I}+X(\mathbf{a})),
\]

где \( |\mathbf{a}| \leqslant 1 \). Таким образом, \( \mathfrak{S}(\mathscr{H}) \) как выпуклое множество изоморфно единичному шару в \( \mathbf{R}^{3} \), причем чистые состояния соответствуют точкам сферы \( |\mathbf{a}|=1 \). В этом случае
\[
S(\mathrm{a})=|\psi(\mathrm{a})\rangle\langle\psi(\mathrm{a})|,
\]

где \( \psi(a) \) – единичный вектор состояния. Поскольку \( \langle\psi(a) \mid \psi(-a)\rangle=0 \), то соотношение
\[
X(\mathrm{a})=|\psi(\mathrm{a})\rangle\langle\psi(\mathrm{a})|-| \psi(-\mathrm{a})\rangle\langle\psi(-\mathrm{a})|,(|\mathrm{a}|=1)
\]

дает спектральное разложение наблюдаемой \( X \) (a). Итак, наблюдаемая \( X( \) a) принимает значения \( \pm 1 \), причем вероятность значения \( \pm 1 \) в состоянии \( S(\mathbf{b})(|\mathbf{b}| \leqslant 1) \) есть
\[
\operatorname{Tr} S(\mathbf{b}) S( \pm \mathbf{a})=\frac{1}{2}(1 \pm \mathbf{a} \cdot \mathbf{b}),
\]

так что \( X(\mathrm{a}) \) имеет распределение Бернулли.
В физике конечномерное гильбертово пространство обычно описывает внутренние (спиновые) степени свободы квантовой системы. Случай \( \operatorname{dim} \mathscr{\mathscr { C }}=2 \) отвечает минимальному спину \( 1 / 2 \). Матрица \( \frac{1}{2} X(a) \) описывает наблюдаемую спина в направлении \( \mathbf{a} \), а оператор плотности \( S(\mathbf{a})(|\mathbf{a}|=1) \) – «полностью поляризованное состояние», в котором спин в направлении а имеет точное значение \( \frac{1}{2} \). Операторы плотности с \( |\mathbf{a}|<1 \), представляющие собой смеси полностью поляризованных состояний, описывают «частично поляризованные» состояния, в частности, \( \mathbf{a}=0 \) соответствует хаотическому состоянию \( S(0)=\frac{1}{2} \mathrm{I} \).

Из соотношения (1.11) следует, что наблюдаемые \( X( \) a), \( X \) (b) совместимы тогда и только тогда, когда а и b коллинеарны. С другой стороны, для всех a, beR \( \mathbf{R}^{3} \)
\[
X(\mathbf{a}) X(\mathbf{b})+X(\mathbf{b}) X(\mathbf{a})=2(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \mathrm{I} .
\]

Фиксируем некоторое состояние и рассмотрим соотношение
\[
X(\mathbf{a})+X(\mathbf{b})=X(\mathbf{a}+\mathbf{b}) .
\]

Оно показывает, что распределение Бернулли устойчиво по отношению к сложению наблюдаемых, подчиненных соотношению антикоммутации (1.14), и что в квантовой теории вероятностей существует векторное пространство бернуллиевских случайных величин размерности, большей единицы (в обычной теории вероятностей таким свойством обладают только гауссовские случайные величины).

На самом деле такое пространство существует для любой конечной размерности \( n \). Пусть \( \mathscr{C}(n) \) – конкретная алгебра Клиффорда, т. е. комплексная алгебра матриц, порождаемая эрмитовыми образующими \( X_{1}, \ldots, X_{n} \), удовлетворяющими соотношениям
\[
X_{j}^{2}=\mathrm{I}, \lambda_{j}{ }_{j}{ }_{k}+X_{k} X_{j}=0 ; k
eq j ; k, j=1, \ldots, n .
\]

Более точное определение и дальнейшие сведения об алгебрах Клиффорда см., например, в [160]. Полагая \( X(\mathrm{a})=\sum_{j=1}^{n} a_{j} X_{j} \) для \( \mathbf{a}=\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right) \in \mathbf{R}^{n} \), соотношения (1.16) можно записать в форме (1.14). При этом, конечно, выполняется (1.15). Наблюдаемые \( X(\mathbf{a}), \mathbf{a} \in \mathbf{R}^{n} \), принимают только значения \( \pm|\mathbf{a}| \) и поэтому имеют распределение Бернулли относительно любого состояния на алгебре \( \mathscr{C}(n) \).

На алгебре Клиффорда естественно определяется «бернуллиевское состояние», подобное многомерному гауссовскому распределению в обычной теории вероятностей (т. н. квазисвободное состояние канонических антикоммутационных соотношений [58], [150]).