Пусть \( \mathscr{X} \) множество с \( \sigma \)-алгеброй измеримых подмножеств \( \mathscr{B}(\mathscr{X}) \). Ортогональным разложением единицы в \( \mathscr{H} \) называется проекторно-значная мера на \( \mathscr{B}(\mathscr{X}) \), т. е. функция множеств \( \mathbf{E}: \mathscr{B}(\mathscr{X}) \rightarrow \mathfrak{E}(\mathscr{\mathscr { C }}) \), удовлетворяющая условиям:
1) если \( B_{1}, B_{\varepsilon} \in \mathscr{B}(\mathscr{H}) \) и \( B_{1} \cap B_{2}=\varnothing \), то \( E\left(B_{1}\right) E\left(\mathrm{~B}_{2}\right)=0 \); но-непересекающиеся измеримые подмножества, то
\[
\sum_{j} E\left(B_{i}\right)=\mathrm{I},
\]

где ряд сходится сильно.
Пусть \( X \)-оператор с плотной областью определения \( \mathscr{D}(X) \subset \mathscr{X} \). Обозначим \( \mathscr{D}\left(X^{*}\right) \) множество векторов \( \varphi \) таких, что существует \( \chi \mathcal{H} \), для которого
\[
\langle\varphi \mid X \psi\rangle=\langle\chi \mid \psi\rangle ; \psi \in \mathscr{D}(X) .
\]

Определим оператор \( X^{*} \) с областью определения \( \mathscr{D}\left(X^{*}\right) \), полагая \( X^{*} \varphi=\chi \). Oператор \( X \) называется эрмитовым (симметрическим), если \( X \subseteq X^{*} \), и самосопряженным, если \( X=X^{*} \).

Спектральная теорема (фон Нейман, Стоун, Рисс, 1929-1932) устанавливает взаимно однозначное соответствие между ортогональными разложениями единицы \( \mathbf{E} \) на \( \sigma \)-алгебре \( \mathscr{B}(\mathbf{R}) \) борелевских подмножеств вещественной прямой \( \mathbf{R} \) и самосопряженными операторами в \( \mathscr{H} \) по формуле
\[
X=\int_{-\infty}^{\infty} x E(d x),
\]

где интеграл понимается в подходящем смысле (см. [30]). Разложение единицы \( \mathbf{E} \) называется спектральной мерой оператора \( X \). Для любой борелевской функции \( f \) определен самосопряженный оператор
\[
f \circ x=\int_{-\infty}^{\infty} x E(d x),
\]

спектральная мера \( \mathbf{F} \) которого связана со спектральной мерой оператора \( X \) соотношением
\[
F(B)=E\left(f^{-1}(B)\right), B \in \mathscr{B}(\mathbf{R}) .
\]

Совокупность всех самосопряженных операторов в \( \mathscr{H} \) обозначим \( \mathfrak{D}(\mathscr{H}) \).