Получим стохастические дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют наблюдаемые траектории и апостериорные состояния в процессе непрерывного квантового измерения. Рассмотрим сначала процесс измерения наблюдаемой \( A=L+L^{*} \) с генератором (2.15). Из уравнения (2.7) для семейства \( V_{t}^{(1)}(W) \) и формулы \( (2.23) \) вытекает, что плотность \( P_{t}^{(1)}(W) \) распределения вероятностей наблюдаемых траекторий \( \mu_{s} \) относительно меры Винера \( \mu_{(1)} \) удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению
\[
d p_{t}^{(1)}(W)=m_{t}(W) p_{t}^{(1)}(W) d W_{t},
\]

где
\[
m_{t}(W)=\operatorname{Tr} S_{t}^{(1)}(W) A
\]
– апостериорное среднее наблюдаемой \( A \). Отсюда следует \( { }^{1)} \), что наблюдаемый процесс \( Y(t) \) является процессом диффузионного типа, удовлетворяющим стохастическому дифференциальному уравнению
\[
d Y(t)=m_{t}(Y) d t+d W_{t} .
\]
1) См. Р. Ш. Липцер, А. Н. Ширяев. Статистика случайных процессов.M.: Наука, 1974, § 7.2.

Применяя стохастическое исчисление Ито, получаем уравнение для апостериорного состояния (2.24)
\[
\begin{array}{c}
d S_{t}^{(1)}(Y)-\mathscr{K}\left[S_{t}^{(1)}(Y)\right]=\left[\left(L-m_{t}(Y)\right) S_{t}^{(1)}(Y)-\vdash\right. \\
\left.+S_{t}^{(1)}(Y)\left(L-m_{t}(Y)\right)^{*}\right]\left[d Y(t)-m_{t}(Y) d t\right],
\end{array}
\]

где
\[
\mathscr{K}[S]=-i[H, S]+L S L^{*}-L^{*} L \circ S .
\]

Это уравнение бло получено В. П. Белавкины из рассмотрения квантового аналога задачи фильтрации случайных процессов [64]. В случае чистых состояний уравнение для вектора апостериорного состояния имеет вид
\[
\begin{array}{l}
d \psi_{t}^{(1)}(Y)=\left[L-m_{t}(Y)\right] \psi_{t}^{(1)}(Y)\left[d Y(t)-m_{t}(Y) d t\right]- \\
\left.-\left[i H+\frac{1}{2} L^{*} L-2 L m_{t}(Y)+m_{t}(Y)^{2}\right)\right] \psi_{t}^{(1)}(Y) d t .
\end{array}
\]

Нелинейность уравнений (2.30), (2.31) обусловлена нормировкой апостериорных состояний (2.24), в основе же лежит линейное стохастическое уравнение (2.7) типа уравнения Закаи в классической теории фильтрации.

Большой интерес представляет задача вывода и исследования уравнений \( (2.30) \), (2.31) в случае, когда \( L, H \) – неограниченные операторы. В работе В. П. Белавкина и Сташевского [65] рассмотрено уравнение
\[
\begin{array}{c}
d \psi_{t}^{(1)}\left(Y^{\prime}\right)=\left(Q-m_{t}(Y)\right) \psi_{t}^{(1)}(Y)\left[d Y(t)-m_{t}(Y) d t\right]- \\
-\left[i P^{2} / 2 m+\frac{1}{2}\left(Q-m_{t}(Y)\right)^{2}\right] \psi_{t}^{(1)}(Y) d t,
\end{array}
\]

которое получается из (2.31) формальной заменой \( H=P^{2} / 2 m \), \( L=Q \), где \( P, Q \) – канонические наблюдаемые нерелятивистской частицы массы \( m \). Это соответствует непрерывному приближенному измерению координаты свободной частицы. Найдено явное решение в случае гауссовского начального состояния и показано, что оно является гауссовским с дисперсией, стремящейся к конечному пределу при \( t \rightarrow+\infty \). Таким образом, уравнение (2.32) снимает известный квантовомеханический парадокс с расплыванием волнового пакета свободной частицы.

Интересно, что сходные нелинейные уравнения, однако с совершенно иной мотивировкой и интерпретацией, возникли практически одновременно в работах ряда авторов, занимающихся поисками альтернативного концептуального обоснования теории квантового измерения. В работе, опубликованной в сборнике [142], Гирарди, Римини и Вебер поставили вопрос о нахождении уравнений, дающих единое описание микро- и макросистем, из которых, в частности, вытекали бы как обратимая квантовая динамика, так и необратимые изменения типа шроекционного постулата. Предлагались различные решения этого

вопроса; в работах Джизена [91], Гирарди, Пирла и Римини [89] введено уравнение типа (2.31), где, однако, вместо \( d Y(t) \) \( m_{t}(Y) d t \) фигурирует стохастический дифференциал некоторого априорно данного винеровского процесса (уравнение в [91] отличается за счет выбора фазового множителя у \( \left.\psi_{t}^{(1)}\right) \). Пусть \( H=0, L=\Sigma x_{i} E_{i} \) – самосопряженный оператор с чисто точечным спектром. В [91], [89] отмечается, что получающееся уравнение
\[
d \psi_{t}=\left(L-\langle L\rangle_{t}\right) \psi_{t} d W_{t}-\frac{1}{2}\left(L-\langle L\rangle_{t}\right)^{2} \psi_{t} d t,
\]

где \( \langle L\rangle_{t}=\left\langle\psi_{t} \mid L \psi_{t}\right\rangle \), дает динамическое описание проекционного постулата \( \psi \rightarrow \psi_{i}=E_{i} \psi /\left\|E_{i} \psi\right\| \), в том смысле, что при \( t \rightarrow+\infty \) решение \( \psi_{i} \) стремится к одному из состояний \( \psi_{i} \). В работе Гатарека и Джизена [88] дано математическое исследование уравнения (2.33) для неограниченного оператора \( L \), а также уравнения типа (2.32). Для доказательства существования слабого решения эти авторы использовали формальный прием преобразования вероятностной меры (теорему Гирсанова), который в схеме непрерывного измерения имеет содержательный смысл перехода от процесса \( Y(t) \) к винеровскому процессу \( W_{t} \), определяемого формулой (2.29).

В случае считающего процесса с генератором (2.18) стохастическое уравнение для плотности в пространстве траекторий имеет вид
\[
d p_{t}^{(2)}(N)=\left[\lambda_{t}(N)-1\right] p_{t}^{(2)}(N)(d N-d t),
\]

где
\[
\lambda_{t}(N)=\operatorname{Tr} S_{t}^{(2)}(N) L^{*} L
\]
– апостериорная интенсивность скачков. Уравнение для апостериорного состоя ния
\[
\begin{array}{c}
d S_{t}^{(2)}(Y)-\mathscr{H}\left[S_{t}^{(2)}(Y)\right] d t= \\
=\left[\frac{L S_{t}^{(2)}(Y) L^{*}}{\lambda_{t}(Y)}-\mathrm{I}\right]\left[d Y(t)-\lambda_{t}(Y) d t\right] .
\end{array}
\]

В статье В. П. Белавина в сборнике [35] приведено общее нелинейное уравнение квантовой фильтрации, включающее в себя как уравнение (2.30), так и (2.34).