Для простоты ограничимся измерениями со значениями в \( \mathbf{R} \) (существенно лишь, что пространство значений является абелевой локально компактной группой; см. [102], [35]). Пусть \( \mathscr{P}_{1}, \ldots, \mathscr{P}_{n}- \) инструменты (в алгебре наблюдаемых) со значениями в R. Существует единственный инструмент \( \mathcal{P} \) со значениями в \( \mathbf{R}^{n} \), такой что
\[
\mathscr{N}\left(B_{1} \times \ldots \times B_{n}\right)[X]=\mathscr{N}_{1}\left(B_{1}\right)\left[\ldots \mathscr{N}_{n}\left(B_{n}\right)[X] \ldots\right] ; B_{j} \in \mathscr{B}(\mathbf{R}) .
\]

Свертка инструментов \( \mathscr{P}_{1}, \ldots, \mathscr{P}_{n} \) определяется соотношением \( \mathscr{N}_{1} * \ldots * \mathscr{P}_{n}(B)[X]=\mathscr{N}\left(\left(x^{1}, \ldots, x_{n}\right): x_{1}+\ldots+x_{n} \in B\right) ; B \in \mathscr{B}(\mathrm{R}) \).
и, согласно формуле (1.13), описывает статистику суммы исходов \( n \) последователых изме рений, отвечающих инструментам \( \mathscr{N}_{1}, \ldots, \mathscr{N}_{n} \). Инструмент \( \mathscr{P}^{\circ} \) со значениями в \( \mathbf{R} \) называется безгранично-делимым, если для любого \( n=1,2, \ldots \) найдется инструмент \( \mathscr{P}_{(n)} \) такой, что \( \mathscr{P}=\mathscr{P}_{(n)} * \ldots * \mathscr{P}_{(n)} \equiv \mathscr{N}_{(n)}^{* n} \). Проблема непрерывного измерения оказывается тесно связанной с пределами \( n \)-кратных сверток вида \( \mathcal{N}_{(n)}^{* n} \) при \( n \rightarrow \infty \) и со структурой безгранично-делимых инструментов. Решение этих вопросоз опирается на некоторое обобщение метода характеристических функций в теории вероятностей.

Обозначим \( \mathfrak{F}_{\sigma} \) банахову алгебру \( w^{*} \)-непрерывных линейных отображений \( \mathfrak{B}(\mathscr{H}) \) в себя с произведением \( \Phi \cdot \Psi[X]=\Phi[\Psi[X]] \). Единицей в этой алгебре является тождественное отображение, обозначаемое Id. В алгебре \( \mathscr{F}_{\text {б }} \) вводится топология \( \tau \), определяемая семейством полунорм
\[
\|\Phi\|_{s}=\sup _{\|X\| \leqslant 1}|\operatorname{Tr} S \Phi[X]|, \quad S \in \mathcal{G}(\mathscr{H}) .
\]
96

—————————————————————-
0004ru_fizik_book6photo_page-0098.jpg.txt

Характеристическая функция инструмента \( \mathscr{P} \) определяется соотношением
\( \Phi(\lambda)[\ddot{\Lambda}]=\int_{\mathbf{R}} e^{i \lambda x} \mathscr{N}(d \lambda)[\tilde{X}] \)

где интеграл сходится в топологии \( \tau \). Функция \( \Phi(\lambda) \) со значениями в \( \xi_{\sigma} \) является характеристической функцией вполне положительного инструмента тогда и только тогда, когда
1) \( \Phi(0)[1]=I \);
2) \( \Phi(\lambda) \tau \)-непрерывна в точке \( \lambda=0 \);
3) \( \Phi(\lambda) \) положительно определенна в следующем смысле:
\[
\sum_{j, k}\left\langle\psi_{j} \mid \Phi\left(\lambda_{k}-\lambda_{j}\right)\left[\lambda_{j}^{*} X_{k}\right] \psi_{k}\right\rangle \geqslant 0 .
\]
(аналог теоремы Бохнера-Хинчина, сводящийся к ней в случае \( \operatorname{dim} \mathscr{H}=1) \).

Характеристическая функция свертки \( \mathscr{P}_{1} * \ldots * \mathscr{P}_{n} \) есть поточечное произведе ние соответствующих характеристических функций \( \Phi_{1}(\lambda) \cdot \ldots \Phi_{n}(\lambda) \), поэтому \( n \)-кратная свертка \( \mathcal{P}_{(n)}^{* n} \) имеет характе ристическую функцию \( \Phi_{(n)}(\lambda)^{n} \), где \( \Phi_{(n)}(\lambda) \) характеристическая фунцция инструмента \( \mathscr{P}_{(n)} \). Распределение вероятностей \( \mu_{s}^{(n)} \) суммы \( n \) повторных измерений, описываемых инструментом \( \mathscr{P}_{(n)} \), определяется формулой
\[
\int_{\mathbf{R}} e^{i \lambda x_{\mu}(n)}(d x)=\operatorname{Tr} S \Phi_{(n)}(\lambda)^{n}[1] .
\]

Следующее утверждение является аналогом центральной предельной теоремы в схеме серий.

Предложение. Пусть \( \left\{\mathcal{N}_{(n)}\right\} \) — последовательность вполне положительных инструментов и пусть существует \( \tau \) — непрерывный предел
\[
\tau-\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\Phi_{(n)}(\lambda)-\mathrm{Id}\right)=\mathscr{L}(\lambda) .
\]

Тогда свертки \( \mathcal{P}_{(n)}{ }^{* n} \) слабо сходятся к безгранично делимому инструменту \( \mathscr{P} \) с характеристической функцией \( \exp \mathscr{L}(\lambda)^{11} \) в том смысле, что
\[
\tau-\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{\mathbf{R}} f(x) \mathscr{P}_{(n)}(d x)=\int_{\mathbf{R}} f(x) \mathscr{P}^{P}(d x)
\]

для всех непрерывных ограниченных функций \( f(x) \).
Заметим, что аналог классического условия асимптотической пренебрегаемости
\[
\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|\Phi_{(n)}(\lambda)-\mathrm{Id}\right\|=0
\]
1) Имеется в виду экспонента в банаховой алгебре ซ్б.
\( 7-9280 \)

в общем случае не влечет (2.9). Вопрос об описании возможных пределов \( \tau-\lim _{n \rightarrow \infty} \Phi_{(n)}(\lambda) \) при одном этом условии остается открытым.

Пример. Пусть \( A, H \) — (ограниченные) вещественные наблюдаемые, \( p(x) \) — плотность распределения вероятностей на \( \mathbf{R} \), удовлетворяющая условиям (1.8). Рассмотрим вполне положительный инструмент
\[
\begin{array}{c}
\mathscr{P}_{(n)}(B)[X]=e^{i t H / n} \sqrt{n} \int_{B} \sqrt{p\left(\sqrt{n} x \mathrm{I}-\frac{1}{\sqrt{n}} A\right)} \times \\
\times \ddot{\sim} \sqrt{p\left(\sqrt{n} x \mathrm{I}-\frac{1}{\sqrt{n}} A\right)} d x e^{-i t H / n} .
\end{array}
\]

Свертка \( \mathscr{N}_{(n)}^{* n} \) имеет следующую статистическую интерпретацию. Рассмотрим квантовую систему, динамика которой на интервале \( [0, t] \) опислватся гамильтонианом \( H \). В моменты времени \( t_{j}=j t / n ; j=0,1, \ldots, n-1 \), производится приближенное измерение наблюдаемой \( A \) с дисперсией \( n \sigma^{2}=n \int x^{2} p(x) d x \), а затем берется среднее \( \frac{1}{n} \sum_{j=0}^{n-1} \alpha\left(t_{j}^{(n)}\right) \) полученных результатов \( \alpha\left(t_{j}^{(n)}\right) \) (которое имеет дисперсию \( \sigma^{2} \) ). Предел при \( n \rightarrow \infty \) соответствует среднему \( \frac{1}{t} \int_{0}^{t} \alpha(\tau) d \tau \) результатов \( \alpha(\tau) \quad \) некоторого «непрерывного измерения» наблюдаемой \( A \). Вычисления показывают, что для достаточно гладкой плотности \( p(x) \) предел (2.9) равен
\[
\begin{array}{c}
\mathscr{L}(\lambda)[X]=i t[H, X]+ \\
+\frac{1}{4} J\left(A X A-A^{2}{ }_{\circ} X\right)+i \lambda A_{\circ} X-\frac{1}{2} \sigma^{2} \lambda_{2} X,
\end{array}
\]

где \( J=\int p^{\prime}(x)^{2} p(x)^{-1} d x \) — информационное количество Фишера для семейства плотностей \( \{p(x+\theta)\} \) с параметром сдвига \( \theta \in \mathbf{R} \), так что \( \sigma^{2} J \geqslant 1 \).