Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Для простоты ограничимся измерениями со значениями в \( \mathbf{R} \) (существенно лишь, что пространство значений является абелевой локально компактной группой; см. [102], [35]). Пусть \( \mathscr{P}_{1}, \ldots, \mathscr{P}_{n}- \) инструменты (в алгебре наблюдаемых) со значениями в R. Существует единственный инструмент \( \mathcal{P} \) со значениями в \( \mathbf{R}^{n} \), такой что Свертка инструментов \( \mathscr{P}_{1}, \ldots, \mathscr{P}_{n} \) определяется соотношением \( \mathscr{N}_{1} * \ldots * \mathscr{P}_{n}(B)[X]=\mathscr{N}\left(\left(x^{1}, \ldots, x_{n}\right): x_{1}+\ldots+x_{n} \in B\right) ; B \in \mathscr{B}(\mathrm{R}) \). Обозначим \( \mathfrak{F}_{\sigma} \) банахову алгебру \( w^{*} \)-непрерывных линейных отображений \( \mathfrak{B}(\mathscr{H}) \) в себя с произведением \( \Phi \cdot \Psi[X]=\Phi[\Psi[X]] \). Единицей в этой алгебре является тождественное отображение, обозначаемое Id. В алгебре \( \mathscr{F}_{\text {б }} \) вводится топология \( \tau \), определяемая семейством полунорм —————————————————————- Характеристическая функция инструмента \( \mathscr{P} \) определяется соотношением где интеграл сходится в топологии \( \tau \). Функция \( \Phi(\lambda) \) со значениями в \( \xi_{\sigma} \) является характеристической функцией вполне положительного инструмента тогда и только тогда, когда Характеристическая функция свертки \( \mathscr{P}_{1} * \ldots * \mathscr{P}_{n} \) есть поточечное произведе ние соответствующих характеристических функций \( \Phi_{1}(\lambda) \cdot \ldots \Phi_{n}(\lambda) \), поэтому \( n \)-кратная свертка \( \mathcal{P}_{(n)}^{* n} \) имеет характе ристическую функцию \( \Phi_{(n)}(\lambda)^{n} \), где \( \Phi_{(n)}(\lambda) \) характеристическая фунцция инструмента \( \mathscr{P}_{(n)} \). Распределение вероятностей \( \mu_{s}^{(n)} \) суммы \( n \) повторных измерений, описываемых инструментом \( \mathscr{P}_{(n)} \), определяется формулой Следующее утверждение является аналогом центральной предельной теоремы в схеме серий. Предложение. Пусть \( \left\{\mathcal{N}_{(n)}\right\} \) – последовательность вполне положительных инструментов и пусть существует \( \tau \) – непрерывный предел Тогда свертки \( \mathcal{P}_{(n)}{ }^{* n} \) слабо сходятся к безгранично делимому инструменту \( \mathscr{P} \) с характеристической функцией \( \exp \mathscr{L}(\lambda)^{11} \) в том смысле, что для всех непрерывных ограниченных функций \( f(x) \). в общем случае не влечет (2.9). Вопрос об описании возможных пределов \( \tau-\lim _{n \rightarrow \infty} \Phi_{(n)}(\lambda) \) при одном этом условии остается открытым. Пример. Пусть \( A, H \) – (ограниченные) вещественные наблюдаемые, \( p(x) \) – плотность распределения вероятностей на \( \mathbf{R} \), удовлетворяющая условиям (1.8). Рассмотрим вполне положительный инструмент Свертка \( \mathscr{N}_{(n)}^{* n} \) имеет следующую статистическую интерпретацию. Рассмотрим квантовую систему, динамика которой на интервале \( [0, t] \) опислватся гамильтонианом \( H \). В моменты времени \( t_{j}=j t / n ; j=0,1, \ldots, n-1 \), производится приближенное измерение наблюдаемой \( A \) с дисперсией \( n \sigma^{2}=n \int x^{2} p(x) d x \), а затем берется среднее \( \frac{1}{n} \sum_{j=0}^{n-1} \alpha\left(t_{j}^{(n)}\right) \) полученных результатов \( \alpha\left(t_{j}^{(n)}\right) \) (которое имеет дисперсию \( \sigma^{2} \) ). Предел при \( n \rightarrow \infty \) соответствует среднему \( \frac{1}{t} \int_{0}^{t} \alpha(\tau) d \tau \) результатов \( \alpha(\tau) \quad \) некоторого «непрерывного измерения» наблюдаемой \( A \). Вычисления показывают, что для достаточно гладкой плотности \( p(x) \) предел (2.9) равен где \( J=\int p^{\prime}(x)^{2} p(x)^{-1} d x \) – информационное количество Фишера для семейства плотностей \( \{p(x+\theta)\} \) с параметром сдвига \( \theta \in \mathbf{R} \), так что \( \sigma^{2} J \geqslant 1 \).
|
1 |
Оглавление
|