Рассмотрим линейное однородное квантовое стохастическое дифференциальное уравнение
\[
d V=\left[L_{0} d \Lambda+L_{1} d A+L_{2} d A^{+}+L_{3} d t\right] V, t \geqslant 0,
\]

с начальным условием \( V(0)=I \), которое является краткой записью интегрального уравнения
\[
\begin{array}{c}
V(t)=\mathrm{I}+\int_{0}^{t}\left[L_{0}(s) d \Lambda(s)+L_{1}(s) d A(s)+L_{2}(s) d A^{+}(s)+\right. \\
\left.+L_{3}(s) d s\right] V(s) .
\end{array}
\]

Модифицируя рассуждение Хадсона и Партасарати [108], основанные на методе последовательных приближений, можно доказать следующую теорему.

Т еорема. Если \( \left\{L_{\alpha}\right\} \) – сильно допустимая четверка, то решение \( \left\{V(t) ; t \in \mathbf{R}_{+}\right\} \)уравнения (1.18) существует, единственно и является сильно непрерывным согласованным процессом.

Обозначим \( \mathscr{P}_{t} \) оператор временного сдвига в \( \mathfrak{S}: \mathscr{P}_{t} \psi(\tau)= \) \( =\psi\left(\tau_{t}\right) \), где \( \tau_{t}=\left\{t_{1}+t, \ldots, t_{n}+t\right\} \), если \( \tau=\left\{t_{1}, \ldots, t_{n}\right\} \). Решение \( V(t) \) удовлетворяет уравнению коцикла
\[
V(t+u)=\left(\mathscr{P}_{u}^{*} V(t) \mathscr{P}_{u}\right) V(u) ; t, u \in \mathbf{R}_{+} .
\]

Особый интерес представляет случай, когда \( V(t), t \in \mathbf{R}_{+} \), являются унитарными операторами. Для этого необходимо и достаточно, чтобы уравнение (1.18) имело вид
\[
\begin{array}{c}
d V=\left[(W-\mathrm{I}) d \Lambda+L d A^{+}-L^{*} W d A-\right. \\
\left.\left(i H+\frac{1}{2} L^{*} L\right) d t\right] V,
\end{array}
\]

где \( W \) – унитарный, а \( H \)-самосопряженный операторы из \( \mathscr{D}(\mathscr{H}) \).

Весьма важной является задача обобщения теоремы существования и единственности решения уравнения (1.18) на случай неограниченных коэффициентов \( L_{\alpha}(t) \). Некоторые результаты в этом направлении имеются в работах Хадсона и Партасарати [108], Журне [113], Фриджерио, Фаньолы, А. М. Чеботарева [75]. В работе [113] частично решена задача описания силь-
110

—————————————————————-
0004ru_fizik_book6photo_page-0112.jpg.txt

но непрерывных унитарных решений уравнения (1.19). Этот вопрос тесно связан с проблемой консервативности, обсуждавшейся в п. 3.2.3.

Уравнения типа (1.18) связаны с линейными стохастическими дифференциальными уравнениями в гильбертовом пространстве (см., в частности, А. В. Скороход [33]), и можно надеяться, что эти два направления взаимно обогатят друг друга. Решения уравнения (1.20) являются некоммутативным аналогом мультипликативного процесса с независимыми стационарными приращениями в группе унитарных операторов. Общая теория таких процессов развита Аккарди, фон Вальденфельсом и Шурманом [54]. Последний показал [144], [147], что всякий такой процесс, удовлетворяющий условию равномерной непрерывности, является решением уравнения типа (1.20). Используя аналогию с квантовыми процессами, А. С. Холево указал стохастическое дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет произвольный классический мультипликативный процесс с независимыми стационарными приращениями в группе Ли (мультипликативный аналог разложения Ито) [104].

Наглядное представление решений уравнения (1.18) дают хронологически упорядоченные экспоненты, родственные мультипликативному стохастическому интегралу в классической теории случайных процессов (по поводу последнего см. Эмери [82]). Пусть \( \left\{\tilde{M}_{\alpha}(t)\right\} \) – четверка простых согласованных процессов на \( [0, T] \) со значениями в \( \mathfrak{Y}(\mathscr{H}) \). Положим
\[
\begin{array}{l}
V_{j}=\exp \left[\tilde{M}_{0}\left(t_{j-1}\right)\left(\Lambda\left(t_{j}\right)-\Lambda\left(t_{j-1}\right)\right)+\right. \\
+\tilde{M}_{1}\left(t_{j-1}\right)\left(A\left(t_{j}\right)-A\left(t_{j-1}\right)\right)+\tilde{M}_{2}\left(t_{j-1}\right)\left(A^{+}\left(t_{j}\right)-A^{+}\left(t_{j-1}\right)\right)+ \\
\left.+\tilde{M}_{3}\left(t_{j-1}\right)\left(t_{j}-t_{j-1}\right)\right]
\end{array}
\]

и обозначим
\[
\begin{array}{l}
=V_{N} \cdot \ldots \cdot V_{1} . \\
\end{array}
\]

Оператор (1.21) определен на \( \mathscr{H} \otimes \Gamma_{e} \). В работе А. С. Холево (см. [145]) доказано, что если \( \left\{M_{\alpha}\right\} \) – сильно допустимая четверка согласованных процессов со значениями в \( \mathfrak{O}(\mathscr{H}) \) и \( \left\{\tilde{M}_{\alpha}^{(N)}\right\} \) – последовательность четверок простых процессов, аппроксимирующая \( \left\{M_{\alpha}\right\} \) в смысле (1.13), то существует сильный предел на \( \mathscr{H} \otimes \Gamma_{e} \) выражений вида (1.21), который называется хронологически упорядоченной экспонентой. При этом семейство хронологически упорядоченных экспонент
111

—————————————————————-
0004ru_fizik_book6photo_page-0113.jpg.txt

является сильно непрерывным на \( \mathscr{H} \otimes \Gamma_{e} \), согласованным процессом, который удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению (1.18), где \( \left\{L_{\alpha}\right\} \) и \( \left\{M_{\alpha}\right\} \) связаны соотношениями
\[
\begin{array}{c}
L_{0}=a\left(M_{0}\right), L_{1}=M_{1} b\left(M_{0}\right), L_{2}=b\left(M_{0}\right) M_{2}, \\
L_{3}=M_{3}+M_{1} c\left(M_{0}\right) M_{2} .
\end{array}
\]

Здесь \( a, b, c \) – целые функции
\[
a(z)=e^{z}-1, \quad b(z)=\frac{e^{z}-1}{z}, \quad c(z)=\frac{e^{z}-1-z}{z^{2}}, \quad z
eq 0 .
\]

Используя изоморфизм (1.17), эти соотношения можно объединить в одно матричное равенство
\[
\mathbf{L}=e^{M}-\mathrm{I} .
\]

Если коэффициенты \( M_{\alpha}(t) \) коммутируют между собой при всевозможных значениях временных аргументов, то хронологически упорядоченная экспонента превращается в обычную
\[
V(t)=\exp \int_{0}^{t}\left(M_{0} d \Lambda+M_{1} d A+M_{2} d A^{+}+M_{3} d t\right),
\]

и дает, таким образом, явное решение уравнения (1.18).
Пример. Решение уравнения
\[
d J_{z}=z J_{z} d \Lambda ; \quad J_{z}(0)=\mathrm{I},
\]

при \( z
eq-1 \) записывается в виде
\[
J_{z}(t)=(z+1)^{\Lambda(t)}, t \in \mathrm{R}_{+} .
\]

Если \( z=-1 \), то решение уравнения (1.24) имеет вид
\[
J_{-1}(t)=\delta_{0, \Lambda(t)},
\]

где \( \delta_{i, j} \) – символ Кронекера. Поскольку \( J_{-1}(t) \) обращается в нуль, оно не может быть записано в виде экспоненты.
Хронологически упорядоченные экспоненты

рассматривались фон Вандельфельсом, а также Хадсоном и Партасарати в [141], [20]. Эти экспоненты являются унитарными операторами, удовлетворяющими уравнению
\[
d V=\left[L d A^{+}-L^{*} d A-\left(i H+\frac{1}{2} L^{*} L\right) d t\right] V ; V(0)=\mathrm{I} .
\]

Пример. Пусть \( \operatorname{dim} \mathscr{H}=1 \) и \( f \in L^{2}\left(\mathbf{R}_{+}\right) \). Экспонента
\[
V_{f}(t)=\exp \int_{0}^{t}\left(f(s) d A^{+}(s)-\overline{f(s)} d A(s)\right)
\]

является унитарным решением уравнения
\[
d V_{f}(t)=\left[f(t) d A^{+}(t)-\overline{f(t)} d A(t)-\frac{1}{2}|f(t)|^{2} d t\right] V_{f}(t)
\]

в \( \Gamma\left(L^{2}\left(\mathbf{R}_{+}\right)\right) \). Из этого уравнения и квантовой формулы Ито вытекает, что процессы \( V_{f}(t) V_{g}(t) \) и \( V_{f+g}^{i}(t) \exp i \operatorname{Im} \int_{0}^{t} f(s) \times \) \( \times \overline{g(s)} d s, \quad \) где \( g \)-другая функция из \( L^{2}\left(\mathbf{R}_{+}\right), \quad \) удовлетворяют одному и тому же уравнению; кроме того, они совпадают при \( t=0 \) и, следовательно, тождественно равны, т. e.
\[
V_{f}(t) V_{g}\left(t_{)}=V_{f+g}(t) \exp \left[i \operatorname{Im} \int_{0}^{t} f(s) \overline{\operatorname{g(s})} d s\right] .\right.
\]

Рассмотрим \( L^{2}\left(\mathbf{R}_{+}\right) \)как вещественное линейное пространство \( Z \) с кососимметричной формой
\[
\Delta(f, g)=2 \operatorname{Im} \int_{0}^{\infty} f(s) \overline{g(s)} d s .
\]

Из (1.28) тогда следует, что операторы \( W(f)=V_{f}(\infty) \) образуют (неприводимое) представление канонического коммутационного соотношения Вейля (1.2.12) в симметричном (бозонном) пространстве Фока \( \Gamma\left(L^{2}\left(\mathbf{R}_{+}\right)\right) \), а формулы (1.4), (1.5) дают инфинитезимальную форму канонического коммутационного соотношения. При этом экспоненциальные векторы играют ту же роль, что и когерентные состояния в случае конечного числа степеней свободы, а отображение дуальности (см. п. 2.1) соответствует переходу к представлению Шрёдингера, диагонализирующему операторы \( Q(t) \).

Дальнейшие сведения о квантовом стохастическом исчислении можно найти в обзоре Мейера [128], а также в сборниках [142]-[145], охватывающих такие темы, как связи с некоммутативной геометрией (Хадсон, Эпплбаум, Робинсон), применение в теории кратного стохастического интеграла (Маассен, Мейер, Партасарати, Линдсей), некоммутативные случайные блуждания в «игрушечном пространстве Фока» и их сходимость к основным процессам (Партасарати, Линдсей, Аккарди) и другие.