Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Рассмотрим линейное однородное квантовое стохастическое дифференциальное уравнение с начальным условием \( V(0)=I \), которое является краткой записью интегрального уравнения Модифицируя рассуждение Хадсона и Партасарати [108], основанные на методе последовательных приближений, можно доказать следующую теорему. Т еорема. Если \( \left\{L_{\alpha}\right\} \) — сильно допустимая четверка, то решение \( \left\{V(t) ; t \in \mathbf{R}_{+}\right\} \)уравнения (1.18) существует, единственно и является сильно непрерывным согласованным процессом. Обозначим \( \mathscr{P}_{t} \) оператор временного сдвига в \( \mathfrak{S}: \mathscr{P}_{t} \psi(\tau)= \) \( =\psi\left(\tau_{t}\right) \), где \( \tau_{t}=\left\{t_{1}+t, \ldots, t_{n}+t\right\} \), если \( \tau=\left\{t_{1}, \ldots, t_{n}\right\} \). Решение \( V(t) \) удовлетворяет уравнению коцикла Особый интерес представляет случай, когда \( V(t), t \in \mathbf{R}_{+} \), являются унитарными операторами. Для этого необходимо и достаточно, чтобы уравнение (1.18) имело вид где \( W \) — унитарный, а \( H \)-самосопряженный операторы из \( \mathscr{D}(\mathscr{H}) \). Весьма важной является задача обобщения теоремы существования и единственности решения уравнения (1.18) на случай неограниченных коэффициентов \( L_{\alpha}(t) \). Некоторые результаты в этом направлении имеются в работах Хадсона и Партасарати [108], Журне [113], Фриджерио, Фаньолы, А. М. Чеботарева [75]. В работе [113] частично решена задача описания силь- —————————————————————- но непрерывных унитарных решений уравнения (1.19). Этот вопрос тесно связан с проблемой консервативности, обсуждавшейся в п. 3.2.3. Уравнения типа (1.18) связаны с линейными стохастическими дифференциальными уравнениями в гильбертовом пространстве (см., в частности, А. В. Скороход [33]), и можно надеяться, что эти два направления взаимно обогатят друг друга. Решения уравнения (1.20) являются некоммутативным аналогом мультипликативного процесса с независимыми стационарными приращениями в группе унитарных операторов. Общая теория таких процессов развита Аккарди, фон Вальденфельсом и Шурманом [54]. Последний показал [144], [147], что всякий такой процесс, удовлетворяющий условию равномерной непрерывности, является решением уравнения типа (1.20). Используя аналогию с квантовыми процессами, А. С. Холево указал стохастическое дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет произвольный классический мультипликативный процесс с независимыми стационарными приращениями в группе Ли (мультипликативный аналог разложения Ито) [104]. Наглядное представление решений уравнения (1.18) дают хронологически упорядоченные экспоненты, родственные мультипликативному стохастическому интегралу в классической теории случайных процессов (по поводу последнего см. Эмери [82]). Пусть \( \left\{\tilde{M}_{\alpha}(t)\right\} \) — четверка простых согласованных процессов на \( [0, T] \) со значениями в \( \mathfrak{Y}(\mathscr{H}) \). Положим и обозначим Оператор (1.21) определен на \( \mathscr{H} \otimes \Gamma_{e} \). В работе А. С. Холево (см. [145]) доказано, что если \( \left\{M_{\alpha}\right\} \) — сильно допустимая четверка согласованных процессов со значениями в \( \mathfrak{O}(\mathscr{H}) \) и \( \left\{\tilde{M}_{\alpha}^{(N)}\right\} \) — последовательность четверок простых процессов, аппроксимирующая \( \left\{M_{\alpha}\right\} \) в смысле (1.13), то существует сильный предел на \( \mathscr{H} \otimes \Gamma_{e} \) выражений вида (1.21), который называется хронологически упорядоченной экспонентой. При этом семейство хронологически упорядоченных экспонент —————————————————————- является сильно непрерывным на \( \mathscr{H} \otimes \Gamma_{e} \), согласованным процессом, который удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению (1.18), где \( \left\{L_{\alpha}\right\} \) и \( \left\{M_{\alpha}\right\} \) связаны соотношениями Здесь \( a, b, c \) — целые функции Используя изоморфизм (1.17), эти соотношения можно объединить в одно матричное равенство Если коэффициенты \( M_{\alpha}(t) \) коммутируют между собой при всевозможных значениях временных аргументов, то хронологически упорядоченная экспонента превращается в обычную и дает, таким образом, явное решение уравнения (1.18). при \( z Если \( z=-1 \), то решение уравнения (1.24) имеет вид где \( \delta_{i, j} \) — символ Кронекера. Поскольку \( J_{-1}(t) \) обращается в нуль, оно не может быть записано в виде экспоненты. рассматривались фон Вандельфельсом, а также Хадсоном и Партасарати в [141], [20]. Эти экспоненты являются унитарными операторами, удовлетворяющими уравнению Пример. Пусть \( \operatorname{dim} \mathscr{H}=1 \) и \( f \in L^{2}\left(\mathbf{R}_{+}\right) \). Экспонента является унитарным решением уравнения в \( \Gamma\left(L^{2}\left(\mathbf{R}_{+}\right)\right) \). Из этого уравнения и квантовой формулы Ито вытекает, что процессы \( V_{f}(t) V_{g}(t) \) и \( V_{f+g}^{i}(t) \exp i \operatorname{Im} \int_{0}^{t} f(s) \times \) \( \times \overline{g(s)} d s, \quad \) где \( g \)-другая функция из \( L^{2}\left(\mathbf{R}_{+}\right), \quad \) удовлетворяют одному и тому же уравнению; кроме того, они совпадают при \( t=0 \) и, следовательно, тождественно равны, т. e. Рассмотрим \( L^{2}\left(\mathbf{R}_{+}\right) \)как вещественное линейное пространство \( Z \) с кососимметричной формой Из (1.28) тогда следует, что операторы \( W(f)=V_{f}(\infty) \) образуют (неприводимое) представление канонического коммутационного соотношения Вейля (1.2.12) в симметричном (бозонном) пространстве Фока \( \Gamma\left(L^{2}\left(\mathbf{R}_{+}\right)\right) \), а формулы (1.4), (1.5) дают инфинитезимальную форму канонического коммутационного соотношения. При этом экспоненциальные векторы играют ту же роль, что и когерентные состояния в случае конечного числа степеней свободы, а отображение дуальности (см. п. 2.1) соответствует переходу к представлению Шрёдингера, диагонализирующему операторы \( Q(t) \). Дальнейшие сведения о квантовом стохастическом исчислении можно найти в обзоре Мейера [128], а также в сборниках [142]-[145], охватывающих такие темы, как связи с некоммутативной геометрией (Хадсон, Эпплбаум, Робинсон), применение в теории кратного стохастического интеграла (Маассен, Мейер, Партасарати, Линдсей), некоммутативные случайные блуждания в «игрушечном пространстве Фока» и их сходимость к основным процессам (Партасарати, Линдсей, Аккарди) и другие.
|
1 |
Оглавление
|