Каждая из математических структур — квантовая логика событий, выпуклое множество состояний и алгебра квантовых наблюдаемых -может быть охарактеризована определенной системой аксиом, но возникающие при этом характеризационные проблемы оказываются совсем не тривиальными и по существу составляют отдельные направления исследований, обзор которых выходит за рамки настоящей статьи (см., в частности, Сигал [32], Макки [23], Варадарайан [160], Людвиг [125], Гаддер [95]). Имея дело с конкретным объектом — квантовой теорией вероятностей в гильбертовом пространстве, не приходится прибегать к тем или иным системам аксиом; более того, именно знание структурных особенностей этого объекта и дает основание для мотивировки той или иной аксиомы. Одним из полезных уроков аксиоматического подхода является, однако, указание на плодотворный параллелизм в описании классических и квантовых систем. Формулируемые ниже положения являются модификацией первых четырех аксиом Макки, одинаково применимых как к классическим, так и квантовым системам.
(I) Заданы множество (5, элементы которого называются состояниями и множество $\mathfrak{D}$, элементы которого называются (вещественными) наблюдаемыми. Для любой пары $S\in ⋐,X\in \mathcal{S}$ задано распределение вероятностей ${\mu }_S{}^X(\mathrm{d}x)$ на $\sigma$-алгебре $\mathcal{B}(\mathbf{R})$ борелевских подмножеств вещественной прямой $\mathbf{R}$, называемое распределением вероятностей наблюдаемой $X$ в состоянии $S$.

Состояние $S$ интерпретируется как более или менее детальное описание приготовления статистического ансамбля независимых индивидуальных представителей рассматриваемой системы, а наблюдаемая $X$ — как величина, измеряемая определенным прибором для каждого представителя в данном ансамбле. Аксиома (1), таким образом, предполагает в ос п р изводимость индивидуальных экспериментов и устойчивостьчастот при их независимых повторениях. Следующая аксиома выражает возможность с м еши в ан и ансамблей.
(II) Для любых $S_1,S_2$ ЄҢ и любого числа , существует $S\in \mathcal{S}$, такое, что
$${\mu }_s^X=p{\mu }_{S_1}^X+(1-p)p_{S_2}^X.$$

для всех $X\in \mathcal{D};S$ называется смесью состояний $S_1,S_2$ в пропорции $p:(1-p)$.

Следующая аксиома говорит о возможности преобразования информации, полученной при измерении наблюдаемой. Пусть $f$ борелевская функция из $\mathrm{R}$ в R. Если $X_1,X_2\in \mathcal{D}$ таковы, что для вcex $S\in S$
$${\mu }_S^{X_2}(B)={\mu }_S^{X_1}(f^{-1}(B));B\in \mathcal{B}(\mathbf{R}),$$

где $f^{-1}(B)=\{x:f(x)\in B\}$, то наблюдаемая $X_2$ функционально подчинена наблюдаемой $X_1$. В этом случае будем писать $X_2=f\circ X_1$.
(III) Для любой $X_1\in D$ и любой борелевской функции $f$ существует $X_2\in \mathcal{D}$, такая что $X_2=f\circ X_1$.

Пару непустых множеств ( $\mathfrak{,},\mathfrak{\text{ ) }}$ ), удовлетворяющих аксиомам (I) — (III), назовем статистической моделью. Статистическая модель называется отделимой, если
(IV) Из того, что ${\mu }_S^{X_1}={\mu }_S^{X_2}$ для всех $X$ Є следует $S_1=S_2$; из того, что ${\mu }_S^{X_1}={\mu }_S^{X_2}$ для всеX $S\in \subseteq$ следует $X_1=X_2$.

Для отделимой модели операция смешивания в С и отиошение функциональной подчиненности в $◯$ определены однозначно. Тем самым множество состояний С наделяется выпуклой структурой, а множество наблюдаемых $\subseteq$ получает частичную упорядоченность.

Наблюдаемые $X_1,\dots ,X_m$ называются совлестимыми, если они функционально подчинены некоторой наблюдаемой $X$, т. е. $X_j=f_j\circ X;j=1,\dots ,m$. Совместимые наблюдаемые могут быть измерены в одном эксперименте. Наблюдаемые, совместимые со всеми наблюдаемыми $X\in \mathcal{D}$, образуют центр статистической нодели. Запас элементов в центре определяет степень классичности модели.