Каждая из математических структур – квантовая логика событий, выпуклое множество состояний и алгебра квантовых наблюдаемых -может быть охарактеризована определенной системой аксиом, но возникающие при этом характеризационные проблемы оказываются совсем не тривиальными и по существу составляют отдельные направления исследований, обзор которых выходит за рамки настоящей статьи (см., в частности, Сигал [32], Макки [23], Варадарайан [160], Людвиг [125], Гаддер [95]). Имея дело с конкретным объектом – квантовой теорией вероятностей в гильбертовом пространстве, не приходится прибегать к тем или иным системам аксиом; более того, именно знание структурных особенностей этого объекта и дает основание для мотивировки той или иной аксиомы. Одним из полезных уроков аксиоматического подхода является, однако, указание на плодотворный параллелизм в описании классических и квантовых систем. Формулируемые ниже положения являются модификацией первых четырех аксиом Макки, одинаково применимых как к классическим, так и квантовым системам.
(I) Заданы множество (5, элементы которого называются состояниями и множество \( \mathfrak{D} \), элементы которого называются (вещественными) наблюдаемыми. Для любой пары \( S \in \Subset, X \in \mathcal{S} \) задано распределение вероятностей \( \mu_{S}{ }^{X}(\mathrm{~d} x) \) на \( \sigma \)-алгебре \( \mathscr{B}(\mathbf{R}) \) борелевских подмножеств вещественной прямой \( \mathbf{R} \), называемое распределением вероятностей наблюдаемой \( X \) в состоянии \( S \).

Состояние \( S \) интерпретируется как более или менее детальное описание приготовления статистического ансамбля независимых индивидуальных представителей рассматриваемой системы, а наблюдаемая \( X \) – как величина, измеряемая определенным прибором для каждого представителя в данном ансамбле. Аксиома (1), таким образом, предполагает в ос п р изводимость индивидуальных экспериментов и устойчивостьчастот при их независимых повторениях. Следующая аксиома выражает возможность с м еши в ан и ансамблей.
(II) Для любых \( S_{1}, S_{2} \) ЄҢ и любого числа \( p, 0<p<1 \), существует \( S \in \mathcal{S} \), такое, что
\[
\mu_{s}^{X}=p \mu_{S_{1}}^{X}+(1-p) p_{S_{2}}^{X} .
\]

для всех \( X \in \mathcal{D} ; S \) называется смесью состояний \( S_{1}, S_{2} \) в пропорции \( p:(1-p) \).

Следующая аксиома говорит о возможности преобразования информации, полученной при измерении наблюдаемой. Пусть \( f \) борелевская функция из \( \mathrm{R} \) в R. Если \( X_{1}, X_{2} \in \mathcal{D} \) таковы, что для вcex \( S \in S \)
\[
\mu_{S}^{X_{2}}(B)=\mu_{S}^{X_{1}}\left(f^{-1}(B)\right) ; \quad B \in \mathscr{B}(\mathbf{R}),
\]

где \( f^{-1}(B)=\{x: f(x) \in B\} \), то наблюдаемая \( X_{2} \) функционально подчинена наблюдаемой \( X_{1} \). В этом случае будем писать \( X_{2}=f \circ X_{1} \).
(III) Для любой \( X_{1} \in D \) и любой борелевской функции \( f \) существует \( X_{2} \in \mathcal{D} \), такая что \( X_{2}=f \circ X_{1} \).

Пару непустых множеств ( \( \mathfrak{,}, \mathfrak{\text { ) }} \) ), удовлетворяющих аксиомам (I) – (III), назовем статистической моделью. Статистическая модель называется отделимой, если
(IV) Из того, что \( \mu_{S}^{X_{1}}=\mu_{S}^{X_{2}} \) для всех \( X \) Є следует \( S_{1}=S_{2} \); из того, что \( \mu_{S}^{X_{1}}=\mu_{S}^{X_{2}} \) для всеX \( S \in \subseteq \) следует \( X_{1}=X_{2} \).

Для отделимой модели операция смешивания в С и отиошение функциональной подчиненности в \( \bigcirc \) определены однозначно. Тем самым множество состояний С наделяется выпуклой структурой, а множество наблюдаемых \( \subseteq \) получает частичную упорядоченность.

Наблюдаемые \( X_{1}, \ldots, X_{m} \) называются совлестимыми, если они функционально подчинены некоторой наблюдаемой \( X \), т. е. \( X_{j}=f_{j} \circ X ; j=1, \ldots, m \). Совместимые наблюдаемые могут быть измерены в одном эксперименте. Наблюдаемые, совместимые со всеми наблюдаемыми \( X \in \mathscr{D} \), образуют центр статистической нодели. Запас элементов в центре определяет степень классичности модели.