Коммутатором ограниченных операторов \( X, Y \) называется оператор
\[
[X, Y]=X Y-Y X \text {. }
\]
Операторы \( X, Y \in \mathfrak{H}(\mathscr{H}) \) – перестановочны (коммутируют), если \( [X, Y]=0 \).
становочными, если перестановочны их спектральные меры. Следующие утверждения эквивалентны:
1) Наблюдаемые \( X_{1}, \ldots, X_{n} \) совместимы, т. е. существует наблюдаемая \( X \) и борелевские функции \( f_{1}, \ldots, f_{n} \) такие, что \( X_{j}=f_{j} \circ X ; j=1, \ldots, n \).
2) Операторы \( X_{1}, \ldots, X_{n} \) перестановочны.
Если \( \boldsymbol{E}_{1}, \ldots, \boldsymbol{E}_{n} \) – спектральные меры совместимых наблюдаемых \( X_{1}, \ldots, X_{n} \), то соотношение
\[
E\left(B_{1} \times \ldots \times B_{n}\right)=E_{1}\left(B_{1}\right) \cdot \ldots \cdot E_{n}\left(B_{n}\right) ; B_{j} \in \mathscr{B} \quad(\mathbf{R}),
\]
однозначно определяет ортогональное разложение единицы \( \boldsymbol{E} \) на \( \mathscr{B}\left(\mathbf{R}^{n}\right) \), называемое совместной спектральной мерой операторов \( X_{1}, \ldots, X_{n} \). Для любого оператора плотности \( S \) определено совместное распределение вероятностей наблюдаемых \( X_{1}, \ldots, X_{n} \)
\[
X_{S}, \ldots, X_{n}(B)=\operatorname{Tr} S E(B), B \in \mathscr{B}\left(\mathbf{R}^{n}\right) .
\]
Для любой борелевской функции \( f\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \) определена наблюдаемая
\[
f\left(X_{1}, \ldots, \ddot{X}_{n}\right)=\int_{-\infty}^{\infty} \ldots \int_{-\infty}^{\infty} f\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) E\left(d x_{1} \ldots d x_{n}\right),
\]
причем
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{E}_{S}\left(f\left(\dot{\Lambda}_{1}, \ldots, \dot{\lambda}_{n}\right)\right)=\int_{-\infty}^{\infty} \ldots \int_{-\infty}^{\infty} f\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \times \\
\times \mu_{S}^{X_{1} \ldots, X_{n}}\left(d x_{1} \ldots d x_{n}\right) .
\end{array}
\]
Существование несовместимых наблюдаемых отражает квантовый принцип дополнительности. Количественное выражение этого принципа дает соотношение неопределенностей. Для наблюдаемых \( X, Y \), имеющих конечный второй момент относительно состояния \( S \), корректно определяются билинейные формы
\[
\langle X, Y\rangle_{S}=\operatorname{Re} \operatorname{Tr} Y S X,[X, Y]_{S}=2 \operatorname{Im} \operatorname{Tr} Y S X
\]
(см. [43, гл. II]). Пусть \( \mathbf{X}=\left[X_{1}, \ldots, X_{n}\right] \) – набор произвольных наблюдаемых с конечным вторым моментом. Введем вещественные матрицы
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{D}_{\mathrm{S}}(\mathbf{X})=\left[\left\langle X_{i}-\mathrm{I} \cdot \mathbf{E}_{\mathrm{S}}\left(X_{i}\right), X_{j}-\mathrm{I} \cdot \mathbf{E}_{\mathrm{S}}\left(X_{j}\right)\right\rangle_{\mathrm{S}}\right]_{i, j=1}, \ldots,{ }_{n} . \\
\mathbf{C}_{\mathrm{S}}(\mathbf{X})=\left[\left[X_{i}, X_{j}\right]_{\mathrm{S}}\right]_{i, j=1}, \ldots,{ }_{n} .
\end{array}
\]
Из положительной определенности полуторалинейных форм \( X, Y \rightarrow \operatorname{Tr} Y^{*} S X, \operatorname{Tr} X S Y^{*} \) вытекает неравенство \( { }^{11} \)
\[
\mathrm{D}_{s}(\mathbf{X}) \geqslant \pm \frac{i}{2} \mathrm{C}_{S}(\mathbf{X}),
\]
1) Впервые такое неравенство было указано Робертсоном (1934); впоследствии оно неоднократно переоткрывалось (см. [17]). где левая и правая части рассматриваются как комплексные эрмитовы матрицы. Для двух наблюдаемых \( X=X_{1}, Y=X_{2} \) неравенство (1.8) равносильно соотношению неопределенностей Шрёдингера-Робертсона
\[
\begin{aligned}
\mathbf{D}_{s}(X) \cdot \mathbf{D}_{s}(Y) \geqslant\langle & \left.X-\mathrm{I} \cdot \mathbf{E}_{s}(\dot{X}), Y-\mathrm{I} \cdot \mathbf{E}_{S}(Y)\right\rangle^{2}+ \\
& +\frac{1}{4}[X, Y]_{s}^{2},
\end{aligned}
\]
где
\[
\mathbf{D}_{S}(\tilde{\lambda})=\int_{-\infty}^{\infty}\left(x-\mathbf{E}_{S}(X)\right)^{2} \mu_{S}^{X}(d x)
\]
– дисперсия наблюдаемой \( X \) в состоянии \( S \). Если \( X, Y \) – совместимые наблюдаемые, то величина
\[
\begin{array}{c}
\left\langle X-\mathrm{I} \cdot \mathrm{E}_{s}(X), Y-\mathrm{I} \cdot \mathrm{E}_{s}(Y)\right\rangle_{s}= \\
=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}\left(x-\mathrm{E}_{S}(X)\right)\left(y-\mathrm{E}_{S}(Y)\right) \mu{ }_{S}^{X, Y}(d x d y)
\end{array}
\]
представляет собой ковариацию \( X, Y \) в состоянии \( S \); при этом \( [X, Y]_{S}=0 \) и (1.9) превращается в неравенство Коши–Шварца для ковариации случайных величин.
Детальный обзор многообразных вариантов и обобщений соотношения неопределенностей см. в [17].
Заметим, что если \( X, Y \) – произвольные (ограниченные) операторы, то
\[
\langle X, Y\rangle_{S}=\operatorname{Tr} S X \circ Y,
\]
где
\[
X \circ Y=\frac{1}{2}(X Y+Y X)
\]
– йорданово (симметризованное) произведение операторов \( X, Y \). Величина вида (1.10) в квантовой статистической механике называется корреляцией, хотя если наблюдаемые \( X, Y \) не совместимы, она не связана каким-либо простым образом с измерениями \( X, Y \).
