Требование полной положительности налагает нетривиальные ограничения на инфинитезимальный оператор полугруппы. Описание инфинитезимального оператора непрерывной по норме квантовой динамической полугруппы было получено Линдбладом и, независимо в случае \( \operatorname{dim} \mathscr{H}<\infty \), Горини, Коссаковским и Сударшаном.Tеорема ([123]). Для того чтобы ограниченное отображение \( \mathscr{K} \) пространства \( \mathfrak{T}(\mathscr{H}) \) было инфинитезимальным оператором непрерывной по норме квантовой динамической полугруппы, необходимо и достаточно, чтобы

\[
\mathscr{K}[S]=-i[H, S]+\sum_{j=1}^{\infty}\left(L_{j} S L_{j}^{*}-L_{j}^{*} L_{j} \mathrm{~S}\right),
\]

где \( H, L_{j} \in \mathfrak{B}(\mathscr{H}), H=H^{*} \) и ряд \( \sum_{j=1}^{\infty} L_{j}^{*} L_{j} \) сходится сильно.
Первое слагаемое в (2.4) отвечает обратимой эволюции с гамильтонианом \( H \), а второе задает диссипативные члены. Оператор \( \sum_{j=1}^{\infty} L_{j}^{*} L_{j} \) связан со скоростью диссипации. Переходя к формулировке в алгебре наблюдаемых, имеем для инфинитезимального оператора \( \mathscr{L}=\mathscr{K}^{\circ *} \) полугруппы \( \Phi_{t}=\Psi_{t}^{\text {ik }} \)
\[
\mathscr{L}[X]=i[H, X]+\sum_{j=1}^{\infty}\left(L_{j}^{*} \dot{\Lambda} L_{j}-L_{j}^{*} L_{j} X\right) .
\]

В основе доказательства теоремы лежат следующие два факта [123], [84].

Предложение. Пусть \( \mathscr{L} \) — ограниченное отображение \( \mathfrak{V}(\mathscr{H}) \) в себя, такое что \( \mathscr{L}[\mathrm{I}]=0 \). Следующие утверждения эквивалентны:
1) \( \exp t \mathscr{L} \) вполне положительно для всех \( t \in \mathbf{R}_{+} \);
2) \( \mathscr{L} \) вполне диссипативно, т. е. \( \mathscr{L}\left[X^{*}\right]=\mathscr{L}[X]^{*} \) и
\[
\sum_{j, k}\left\langle\psi_{j} \mid\left(\mathscr{L}\left[X_{j}^{* *} X_{k}\right]-X_{j}^{*} \mathscr{L}\left[X_{k}\right]-\mathscr{L}\left[X_{j}\right]^{*} X_{k}\right) \psi_{k}\right\rangle \geqslant 0
\]

для любых конечных наборов \( \left\{\psi_{j}\right\} \subset \mathscr{H},\left\{X_{j}\right\} \subset \mathscr{B}(\mathscr{H}) \);
3) \( \mathscr{L}\left[X^{*}\right]=\mathscr{L}[X]^{*} \) и \( \mathscr{L} \) условно вполне положительно т. е. из \( \sum_{j} X_{j} \psi_{j}=0 \) следует
\[
\sum_{j, k}\left\langle\psi_{j} \mid \mathscr{L}\left[X_{j}^{*} \ddot{A}_{k}\right] \psi_{k}\right\rangle \geqslant 0 .
\]

Это утверждение родственно теореме Шенберга в теории условно положительно определенных функций (см., например, [138], а также п. 4.2.4).

Теорема. Пусть \( \mathscr{L} \) — ограниченное отображение \( \mathfrak{B}(\mathscr{H}) \) в себя, такое что \( \mathscr{L}[\mathrm{I}]=0 \). Для того чтобы \( \mathscr{L} \) было вполне диссипативным, необходимо и достаточно, чтобы
\[
\mathscr{L}[X]=\Phi[X]+K^{*} X+X K,
\]

Соотношение (2.5) получается тогда из формулы (1.3) для нормального вполне положительного отображения.

Доказательство формулы (2.6) может быть связано с когомологиями алгебры \( \mathfrak{Y}(\mathscr{H}) \). Конструкция типа ГНС сопоставляет вполне диссипативному отображению \( \mathscr{L} \) линейное отображение \( B \) алгебры \( \mathfrak{B}(\mathscr{H}) \) в пространство ограниченных операторов из \( \mathscr{H} \) в \( \mathscr{K} \) (другое гильбертово пространство), так что
\[
\mathscr{L}\left[X^{*} Y\right]-X^{*} \mathscr{L}[Y]-\mathscr{L}[X]^{*} Y=B[X]^{*} B[Y] .
\]

Более того, отображение \( B \) оказывается коциклом некоторого представления (*-гомоморфизма) \( \pi \) алгебры \( \mathfrak{Y}(\mathscr{H}) \) в \( \mathfrak{B}(\mathscr{K}) \), т. е. удовлетворяет уравнению
\[
B[X Y]=\pi[X] B[Y]+B[X] Y ; X, Y \in \mathfrak{Y}(\mathscr{H}) .
\]

Основную трудность представляет доказательство того, что всякий коцикл тривиален, т. е. имеет вид \( B[X]=\pi[X] R-R X \), где \( R \) — ограниченный оператор из \( \mathscr{H} \) в \( \mathscr{K} \). Кристенсен и Эванс [76] обобщили этот подход и получили аналог представления (2.6) для произвольной \( C^{*} \)-алгебры операторов.