Хотя описанное выше расширение понятия наблюдаемой формально аналогично введению рандомизованных величин в классической статистике, неортогональные разложения единицы имеют в квантовой теории принципиально более важное значение, нежели просто средство описания неточных измерений. Дело в том, что и с математической, и с физической точек зрения наибольший интерес представляют крайние точки выпуклого множества разложений единицы (0.10), описывающие статистику предельно точных и максимально информативных измерений. В классическом случае крайние точки множества (0.8) совпадают с нерандомизированными процедурами \( \left\{E_{j}(\omega)\right\} \), соответствующими обычным случайным величинам. Однако в квантовом случае крайние точки множества (0.10) при \( n>2 \) уже не исчерпываются ортогональными разложениями единицы. Следовательно, для описания предельно точных квантовых измерений требуются, в общем случае, неортогональные разложения единицы.

С другой стороны, как показал М. А. Наймарк (1940), произвольное разложение единицы расширяется до ортогонального в некотором объемлющем гильбертовом пространстве. Это позволяет истолковать неортогональное разложение единицы как обычную наблюдаемую в расширении исходной квантовой системы, содержащем независимую дополнительную систему. Таким образом, измерение над расширением может быть более точным и информативным, чем любое прямое квантовое измерение. Этот парадоксальный с точки зрения классической статистики факт связан с затронутым в п. 3 квантовым с Бойством целостности.

В 1940 -50 годы в работах Д. Габора и Л. Бриллюэна было высказано предположение, что квантово-механическая природа канала связи должна налагать фундаментальные ограничения на скорость передачи и точность воспроизведения информации. Этот вопрос приобрел актуальность в 60-е годы с появлением квантовых каналов связи — систем передачи информации, основанных на свойствах когерентного лазерного излучения. В 70 -е годы была создана последовательная квантовая теория статистических решений, которая дает принципиальную основу для рассмотрения вопросов предельной точности и информативности измерений (см.

В этой теории решающие процедуры — измерения описываются разложениями единицы в гильбертовом пространстве системы и решаются задачи об отыскании экстремума некоторого функционала (меры точности, шенноновской информации) в классе квантовых решающих процедур, обычно подчиненных дополнительным ограничениям (несмещенности, ковариантности и т. п.) (см. гл. 2).