Многие реальные процессы укладываются в следующую схему косвенного измерения: рассматриваемая система взаимодействует с «пробной» системой, после чего над пробной системой производится прямое измерение некоторой квантовой наблюдаемой. Пусть \( \mathscr{C}_{0} \) — гильбертово пространство пробной системы, \( S_{0} \) оператор плотности, описывающий ее исходное состояние, \( U \) унитарный оператор в \( \mathscr{H} \otimes \mathscr{C}_{0} \), задающий взаимодействие и \( E_{0} \) — ортогональное разложение единицы в \( \mathscr{H}_{0} \), соответствующее измеряемой величине. Распределение вероятностей такого измерения дается формулой
\[
\mu_{\mathcal{s}}(B)=\operatorname{Tr} U\left(S \otimes S_{0}\right) U^{*}\left(\mathrm{I} \otimes E_{0}(B)\right) ; B \in \mathscr{B}(\mathscr{X}),
\]

где \( S \) — оператор плотности системы перед измерением. Оно может быть записано в виде (1.3), где
\[
\mathscr{M}(B)[S]=\operatorname{Tr}_{\mathscr{H}_{0}} U\left(S \otimes S_{0}\right) U^{*}\left(\mathrm{I}_{\otimes} E_{0}(B)\right)
\]
— вполне положительный инструмент в пространстве состояний системы \( \mathscr{H} \) (здесь \( \operatorname{Tr} \mathscr{H}_{0} \) — частичный след по \( \mathscr{H}_{0} \) ). Верно и обратное.

Теорем а (Озава, [134]). Пусть \( \mathscr{M} \) — вполне положительный инструмент со значениями в \( \mathscr{X} \). Найдется гильбертово пространство \( \mathscr{H}_{0} \), оператор плотности \( S_{0} \) в \( \mathscr{H}_{0} \), унитарный оператор \( U \) в \( \mathscr{G} \otimes \mathscr{H}_{0} \) и ортогональное разложение единицы \( \mathrm{E}_{0} \) в \( \mathscr{H}_{0} \), такие что для любого оператора плотности \( S \) в \( \mathscr{H} \) имеет место формула (1.10).

В основе этой теоремы лежит следующая комбинация теоремы Наймарка и теоремы Стайнспринга: если \( \mathscr{P} \) — вполне положительный инструмент (в алгебре наблюдаемых), то существует гильбертово пространство \( \mathscr{K} \), изометрический оператор \( V \) из \( \mathscr{H} \) в \( \mathscr{K} \), ортогональное разложение единицы \( E \) в \( \mathscr{K} \) и нормальный *-гомоморфизм \( \pi \) из \( \mathfrak{Y}(\mathscr{H}) \) в \( \mathfrak{B}(\mathscr{K}) \), такие что \( [E(B), \pi[X]]= \) \( =0 \) для всех \( B \in \mathscr{B}(\mathscr{X}), X \in \mathscr{B}(\mathscr{H}) \) и
\[
\mathcal{P}(B)[X]=V^{*} E(B) \pi[X] V .
\]

Пространство \( \mathscr{K} \) превращается в \( \mathscr{C} \otimes \mathscr{H}_{0} \) с помощью рассуждений, которые были использованы при доказательстве формулы (3.1.4).

Из (1.11) выводится аналог представления (3.1.4) для вполне положительного инструмента
\[
\mathcal{P}(B)[X]=\int_{B} \sum_{n=1}^{\infty} V_{n}(x)^{*} X V_{n}(x)_{\mu}(d x),
\]

где \( \mu-\sigma \)-конечная мера на \( \mathscr{X} \), а \( V_{n}(x)-\mu \)-измеримые функции
\[
\int_{\mathscr{X}} \sum_{k=1}^{\infty} V_{n}(x)^{*} V_{n}(x) \mu(d x)=\mathrm{I} .
\]

Соответствующий инструмент в пространстве состояний имеет вид
\[
\mathscr{M}(B)[S]=\int_{B} \sum_{n=1}^{\infty} V_{n}(x) S V_{n}(x)^{*} \mu(d x) .
\]

При этом распределение вероятностей в состоянии \( S \) дается формулой
\[
\mu_{\mathrm{S}}(B)=\int_{B} \sum_{n=1}^{\infty} \operatorname{Tr} S V_{n}(x)^{*} V_{n}(x) \mu(d x),
\]

а апостериорные состояния —
\[
S_{x}=\sum_{n=1}^{\infty} V_{n}(x) S V_{n}(x)^{*} / \sum_{n=1}^{\infty} \operatorname{Tr} S V_{n}(x)^{*} V_{n}(x) .
\]