В работе Б. С. Цирельсона [48] было изучено выпуклое множество Cor \( (n, m) \) квантовопредставимых матриц \( \mathbf{C}=\left[c_{j k}\right]_{k=1, \ldots, m}^{j=1, \ldots, n} \), элементы которых представимы кау корреляции \( c_{j k}=\left\langle\hat{X}_{j}, \hat{Y}_{k}\right\rangle_{\mathrm{s}} \) каких-либо квантовых наблюдаемых \( \hat{X}_{j}, \hat{P}_{k} \), удовлетворяющих условиям (4.2), (4.3). Оказывается, что формально более сильное, чем (4.2) (и физически содержательное), условие (4.1) приводит к тому же множеству корреляционных матриц С. Это видно из доказательства следующей теоремы, которая дает прозрачное геометрическое описание множества \( \operatorname{Cor}(n, m) \).

Теорема. Матрица С принадлежит множеству \( \operatorname{Cor}(n, m) \) тогда и только тогда, когда в евклидовом пространстве размерности \( \min (n, m) \) существуют векторы \( \mathbf{a}_{1}, \ldots, \mathbf{a}_{n} ; \mathbf{b}_{1}, \ldots, \mathbf{b}_{m} \) такие, что \( \left\|\mathbf{a}_{j}\right\| \leqslant 1,\left\|\mathbf{b}_{k}\right\| \leqslant 1 \) и \( \mathbf{a}_{j} \cdot \mathbf{b}_{k}=c_{j k} \) для всех \( j, k \).

Дадим набросок конструкции, существенной для доказательства. Пусть \( \mathscr{C}(n) \) – комплексная алгебра Клиффорда с \( n \) эрмитовыми образующими \( X_{1}, \ldots, X_{n} \), удовлетворяющими соотношениям
\[
X_{j}^{2}=1, \quad X_{j} X_{k}+X_{k} X_{j}=0 ; \quad j, k=1, \ldots, n, \quad j
eq k .
\]

Поскольку элементы \( X_{j} \otimes X_{j} \) алгебры \( \mathscr{B}(n) \otimes \mathscr{B}(n) \) перестановочны и их спектр состоит из \( \pm 1 \), то 1 является точкой спектра элемента
\[
A=\frac{1}{n}\left(X_{1} \otimes X_{1}+\ldots+X_{n} \otimes X_{n}\right)
\]
(кратности 1). Пусть \( \pi \) – неприводимое представление алгебры \( \mathscr{C}(n) \otimes \mathscr{C}(n) \), тогда в пространстве представления существует единственный с точностью до множителя вектор \( \psi \), такой что \( \pi(A) \psi=\psi \). Доказывается, что
\[
\langle\psi \mid \pi(X(\mathbf{a}) \otimes X(\mathbf{b})) \psi\rangle=\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} ; \mathbf{a}, \mathbf{b} \in \mathbf{R}^{n} .
\]

Вектор \( \psi \) определяет состояние \( S \) в точном представлении алгебры \( \mathscr{C}(n) \otimes \mathscr{Z}(n) \) такое, что
\[
\left\langle\hat{\lambda}_{j}, \hat{Y}_{k}\right\rangle_{\hat{s}}=\mathbf{a}_{j} \cdot \mathbf{b}_{k},
\]
1) По поводу нелокальности в стохастической механике см. статью Э. Нельсона [132].

где \( \hat{X}_{j}=X\left(\mathbf{a}_{j}\right) \otimes \mathrm{I}, \hat{Y}_{k}=\mathrm{I} \otimes X\left(\mathbf{b}_{k}\right) \) удовлетворяют условию (4.1), а значит, и (4.2).

Из этой теоремы в [48] получено описание крайних точек множества \( \operatorname{Cor}(n, m) \), а также указаны неравенства, задаюцие множество \( \operatorname{Cor}(2,2) \).

Обозначая \( \operatorname{Cor}_{1}(n, m) \) множество классически-представимых матриц \( C \), таких что
\[
c_{j k}=\int X_{j}(\omega) Y_{k}(\omega) S(d \omega),
\]

где \( X_{j}, Y_{k} \) – случайные величины, такие что \( \left|X_{i}(\omega)\right| \leqslant 1 \), \( \left|Y_{k}(\omega)\right| \leqslant 1 \), имеем, очевидно,
\[
\operatorname{Cor}_{1}(n, m) \underset{
eq}{\digamma} \operatorname{Cor}(n, m) .
\]

Несовпадение этих множеств математически выражает свойство квантовой целостности. Неравенство БКХШ задает граничную гиперплоскость, отделяющую многогранник \( \operatorname{Cor}_{1}(2,2) \) от квантово-реализуемой матрицы \( \frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & -1\end{array}\right] \) Є Соr \( (2,2) \). Естественно поставить вопрос, насколько \( \operatorname{Cor}(n, m) \) превосходит \( \operatorname{Cor}_{1}(n, m) \). Пусть \( K(n, m) \) – наименьшее число, обладающее свойством
\[
\operatorname{Cor}(n, m) \subset K(n, m) \operatorname{Cor}_{1}(n, m) .
\]

Последовательность \( K(n, m) \) возрастает с ростом \( n, m \). Как отмечается в [48], из геометрического описания множества \( \operatorname{Cor}(n, m) \) вытекает, что \( K=\lim _{n, m \rightarrow \infty} K(n, m) \) совпадает с известной в теории нормированных пространств константой Гротендика \( K_{a} \leqslant \frac{\pi}{2 \ln (1+\sqrt{2})} \approx 1,782 \).