Рассмотрим отделимую статистическую модель ( \( ( \),\( ) ). Пусть задана пара взаимно однозначных \) преобразований: \( \Psi \), отображаюцее \( \mathfrak{S} \) на \( \mathscr{S} \) и \( Ф \), отображающее ○ на \( \mathfrak{D} \), причем
\[
\mu_{\Psi(S)}^{\Phi(X)}(B)=\mu_{S}^{X}(B) ; B \in \mathscr{B}(\mathbf{R})
\]

для всех \( S \in \mathcal{S}, X \in D \). Отсюда следует, что \( \Psi \) является аффинным отображением, т. е.
\[
\Psi\left(\sum_{i=1}^{n} p_{i} S_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n} p_{i} \Psi\left(S_{i}\right)
\]

если \( p_{i} \geqslant 0, \sum_{i=1}^{n} p_{i}=1 \). Преобразование \( \Psi \) назовем симметрией в пространстве состояний.

Теорема (Вигнер, 1931). Всякая симметрия пространства квантовых состояний имеет вид
\[
\Psi(S)=U S U^{*},
\]

где \( U \) унитарный или антиунитарный оператор в \( \mathscr{H} \).
Для средних значений наблюдаемых имеем
\[
\operatorname{Tr} \Psi(S) X=\operatorname{Tr} S \Psi^{*}(X),
\]

где
\[
\Psi^{*}(X)=U^{*} X U
\]

С точки зрения наблюдаемой статистики преобразование (2.1) состояний эквивалентно преобразованию (2.2) наблюдаемых. В первом случае говорят о картине Шрёдингера, а во втором о картине Гейзенберга.

Пусть \( G- \) группа и \( g \rightarrow \Psi_{g} \) — представление \( G \) в группу симметрий \( \mathfrak{S}(\mathscr{H}) \), так что
\[
\Psi_{g_{1} \cdot g_{2}}=\Psi_{g_{1}} \cdot \Psi_{g_{2}} ; g_{1}, g_{2} \in G .
\]

Если \( G \) — связная топологическая группа, а представление \( g \rightarrow \Psi_{g} \) непрерывно, то \( \Psi_{g} \) представляется в виде
\[
\Psi_{g}(S)=U_{g} S U_{g}{ }^{*}
\]

где \( g \rightarrow U_{g} \) — проективное унитарное представление группы \( G \) в пространстве \( \mathscr{C} \), т. е. операторы \( U_{g} \) унитарны и удовлетворяют уравнению
\[
U_{g_{1}} U_{g_{2}}=\omega\left(g_{1}, g_{2}\right) U_{g_{1} \cdot g_{2}},
\]

где \( \omega\left(g_{1}, g_{2}\right) \) — множитель представления — комплексная функция, удовлетворяющая определенным алгебраическим соотношениям (см., например, Варадарайан [160]).