С каждой квантовомеханической системой связывается сепарабельное комплексное гильбертово пространство \( \mathscr{H} \). Состояния системы описываются операторами плотности в \( \mathscr{C} \). Вещественной наблюдаемой называется любой самосопряженный оператор в \( \mathscr{H} \). Распределение вероятностей наблюдаемой \( X \) в состоянии \( S \) задается соотношением
\[
\mu_{S}^{X}(B)=\operatorname{Tr} S E(B), \quad B \in \mathscr{B}(\mathbf{R}),
\]

где \( \mathbf{E} \) – спектральная мера \( X \). Определенную таким образом отделимую статистическую модель ( \( (\mathscr{H}), \mathfrak{O}(\mathscr{H})) \) будем называть стандартной статистической моделью квантовой механики.

Из (1.5), (1.6) вытекает, что среднее значение наблюдаемой \( X \) в состоянии \( S \),
\[
\mathrm{E}_{S}(X)=\int_{-\infty}^{\infty} x \mu_{S}^{X}(d x),
\]

равно
\[
\mathbf{E}_{s}(X)=\operatorname{Tr} S X
\]
(по крайней мере, для ограниченных наблюдаемых).
Крайние точки множества \( \mathfrak{S}(\mathscr{C}) \), описываемые операторами плотности (1.3), называются чистыми состояниями, а вектор \( \psi \) называется вектором состояния. Среднее значение наблюдаемой \( X \) в таком состоянии равно
\[
\mathbf{E}_{S_{\psi}}(X)=\langle\psi \mid X \psi\rangle .
\]

Допуская вольность речи, ограниченной наблюдаемой иногда называют произвольный \( X \in \mathscr{Q}(\mathscr{\mathscr { C }}) \). Соотношение (1.7) определяет линейный положительный нормированный ( \( \mathrm{E}_{S}(\mathrm{I})=1 \) ) функционал на алгебре \( \mathfrak{Y}(\mathscr{C}) \), т. е. состояние в смысле теории алгебр (предыдущие рассуждения поясняют происхождение этого математического термина). Состояние на \( \mathfrak{Y}(\mathscr{H}) \), определяемое оператором плотности по формуле (1.7), является нормальным в том смысле, что если \( X_{n} \uparrow X \), то \( \mathrm{E}_{S}\left(X_{n}\right) \rightarrow \mathrm{E}_{s}(X) \).

Алгеброй фон Неймана называется всякая алгебра ограниченных операторов в \( \mathscr{C} \), содержащая единичный оператор, замкнутая относительно инволюции и предельного перехода в сильной (слабой) операторной топологии. С любой алгеброй фон Неймана \( \mathfrak{B} \), как и с \( \mathfrak{B}(\mathscr{H}) \), ассоциируется статистическая модель, в которой состояниями являются нормальные состояния на \( \mathfrak{Y} \), а наблюдаемыми – самосопряженные операторы, присоединенные к \( \mathfrak{8} \). Такие модели занимают промежуточное положение между квантовой и классическими (соответствующими коммутативным алгебрам \( \mathfrak{B} \) ), и играют важную роль в теории квантовых систем с бесконечно большим числом степеней свободы – полей и сред (см. [7], [9], [51]).