Случай, когда \( G=\mathscr{X} \) – абелева локально компактная группа, представляет интерес, в частности, в связи с проблемой канонической сопряженности в квантовой механике. Полное описание ковариантных разложений единицы для произвольного (непрерывного) представления \( \mathbf{V} \) дается в терминах преобразования Фурье; при этом значения «плотности» \( P(x) \) оказываются, вообще говоря, неограниченны-
1) \( L^{2} \mathscr{K}(\mathscr{X}, \mu) \) обозначает гильбертово пространство функций на \( \mathscr{Z} \) со значениями в некотором гильбертовом пространстве \( \mathscr{K} \), квадратично интегрируемых по мере \( \mu \).

ми положительно-определенными формами. Излагаемые далее результаты могут быть получены как прямыми методами гармонического анализа, так и с помощью теоремы о расширении из предыдущего пункта (см. статью А. С. Холево в [141]). Обобщение на неабелевы группы типа I дано в работе [46].
Пусть \( \hat{G} \)-двойственная группа, \( d \hat{g} \) – мера Хаара в \( \hat{G} \).
Предложение 1. \( \mathfrak{M}^{G, V}(G)
eq \varnothing \) тогда и только тогда, когда спектр \( \mathbf{V} \) аб́солютно непрерывен относительно \( d \hat{g} \).

Если это выполнено, то \( \mathbf{V} \) разлагается в прямой интеграл факторных представлений, именно
\[
\mathscr{H}=\int_{\Lambda} \oplus \mathscr{C}(\lambda) d \lambda,
\]

где \( \Lambda \)-измеримое подмножество \( \hat{G},\{\mathscr{H}(\lambda) ; \lambda \in \Lambda\} \) – измеримое семейство гильбертовых пространств с \( \operatorname{dim} \mathscr{H}(\lambda)>0 \) для п. в. \( \lambda \in \Lambda \), причем
\[
V_{g} \psi=\int_{\Lambda} \oplus \overline{\lambda(g)} \psi(\lambda) d \lambda, \text { если } \psi=\int_{\Lambda} \oplus \psi(\cdot \lambda) d \lambda .
\]

Здесь \( \lambda(g) \) – значение характера \( \lambda \in \hat{G} \) на элементе \( g \in G \). Следующее утверждение вытекает из теоремы импримитивности Макки, которая обобщает теорему единственности Стоуна фон Неймана (п. 1.2.3).

Предложение 2. \( \mathfrak{M}_{0}^{G, V}(G)
eq \varnothing \) тогда и только тогда, когда \( \boldsymbol{A}=\hat{\boldsymbol{G}} \) с точностью до множества нулевой меры и \( \operatorname{dim} \mathscr{H}(\lambda)= \) const для п. в. \( \lambda \in \hat{G} \).

Ядром будем называть семейство \( \left\{P\left(\lambda, \lambda^{\prime}\right) ; \lambda, \lambda^{\prime} \in \Lambda\right\} \), где \( P\left(\lambda, \lambda^{\prime}\right) \) – сжимающие операторы из \( \mathscr{H}\left(\lambda^{\prime}\right) \) в \( \mathscr{H}(\lambda) \), причем комплексная функция \( \left\langle\varphi(\lambda) \mid P\left(\lambda, \lambda^{\prime}\right) \psi\left(\lambda^{\prime}\right)\right\rangle_{\lambda} \) измерима по мере \( d \lambda \times d \lambda^{\prime} \) для любіх \( \varphi=\int \oplus \varphi(\lambda) d \lambda, \quad \psi=\int \oplus \psi(\lambda) d \lambda \in \mathscr{H} \) \( (\langle\cdot \mid \cdot\rangle \lambda \) обозначает скалярное произведение в \( \mathscr{H}(\lambda) \) ). Ядро положительно определено, если
\[
\int_{\Lambda} \int_{\Lambda}\left\langle\varphi(\lambda) \mid P\left(\lambda, \lambda^{\prime}\right) \varphi\left(\lambda^{\prime}\right)\right\rangle \lambda d \lambda d \lambda^{\prime} \geqslant 0
\]

для всех \( є \mathscr{H}_{1}=\left\{\varphi: \int_{\Lambda}\|\varphi(\lambda)\| \lambda d \lambda<\infty\right\} \). Д.ля таких ядер однозначно с точностью до эквивалентности определяется диагональное значение \( P(\lambda, \lambda) \) (см. [141]). Обозначим \( { }^{\wedge} 1_{B}(\lambda)= \) \( =\int_{B} \lambda(g) d g \), где \( d g \)-мера Хаара в \( G \).

Теорема. Соотношение
\[
\langle\varphi \mid M(B) \psi\rangle=\int_{\Lambda} \int_{\Lambda}\left\langle\varphi(\lambda) \mid P\left(\lambda, \lambda^{\prime}\right) \varphi\left(\lambda^{\prime}\right)\right\rangle_{\lambda} \hat{1}_{B}\left(\lambda-\lambda^{\prime}\right) d \lambda d \lambda^{\prime},
\]

где \( B \) пробегает компактные подмножества в \( G, \varphi, \psi \mathscr{H}_{1} \), устанавливает взаимно однозначное соответствие между ковариантными разложениями единицы в \( \mathscr{H} \) и классами эквивалентности положительно определенных ядер \( \left\{P\left(\lambda, \lambda^{\prime}\right)\right\} \), таких что \( P(\lambda, \lambda)=\mathrm{I}_{\lambda} \) (единичный оператор в \( \mathscr{H}(\lambda) \) ).

Эта теорема сводит вопрос об описании множества \( \operatorname{Extr} \mathfrak{M}^{G, V}(G) \) к нахождению крайних точек выпуклого множества положительно определенных ядер \( \left\{P\left(\lambda, \lambda^{\prime}\right)\right\} \), удовлетворяющих условию \( P(\lambda, \lambda)=\mathrm{I}_{2} \). В полном объеме эта задача не решена даже для конечного \( \Lambda \). Можно, однако, выделить подкласс множества Extr \( \mathfrak{P}^{G, V}(G) \), существенный для квантовомеханических приложений.

Для простоты ограничимся далее случаем, когда \( \operatorname{dim} \mathscr{H}(\lambda)= \) const, \( \lambda \in \Lambda \). Обозначим \( \mathfrak{P}_{c}{ }^{G}, \mathrm{v}(G) \) класс ковариантных разложений единицы, ядра которых удовлетворяют соотношению
\[
P\left(\lambda, \lambda^{\prime}\right) P\left(\lambda^{\prime}, \lambda^{\prime \prime}\right)=P\left(\lambda, \lambda^{\prime \prime}\right) ; \lambda, \lambda^{\prime}, \lambda^{\prime \prime} \in \Lambda .
\]

Если \( \Lambda=G \), то этот класс совпадает с \( \mathfrak{M}_{0}^{G, \mathrm{v}}(G) \), с другой стороны, \( \mathfrak{M}_{c}^{G, \mathrm{~V}}(G) \subset \operatorname{Extr} \mathfrak{M}^{G, \mathrm{~V}}(G) \), причем совпадение имеет место только, если \( \Lambda \) состоит из двух точек. Все элементы \( \mathfrak{M}_{c}^{G, \mathrm{~V}}(G) \) получаются друг из друга калибровочными преобразованиями
\[
M^{\prime}(B)=U^{*} M(B) U,
\]

где \( U=\int_{\Lambda} \oplus U(\lambda) d \lambda \) – разложимый унитарный оператор в \( \mathscr{C}= \) \( =\int_{\Lambda} \oplus \mathscr{H}(\lambda) d \lambda \)

Если реализовать \( \mathscr{H} \) как \( L_{\mathscr{R}}^{2}(\Lambda, d \lambda), \quad \) ге \( \mathscr{H}(\lambda) \equiv \mathscr{H}, \lambda \in \Lambda \), то в кассе \( \mathfrak{M}_{c}^{G, \mathrm{~V}}(G) \) выделяется разложение единицы \( M_{c} \), определя емое ядром \( P\left(\lambda, \lambda^{\prime}\right) \equiv I_{\mathscr{h}} \) (единичный оператор в \( \left.\mathscr{K}^{p}\right) \), для которого
\[
\left\langle\psi \mid M_{c}(B) \varphi\right\rangle=\int_{\Lambda} \int_{\Lambda}\left\langle\psi(\lambda) \mid \varphi\left(\lambda^{\prime}\right)\right\rangle \hat{K}_{3 \zeta}\left(\lambda-\lambda^{\prime}\right) d \lambda d \lambda^{\prime} .
\]

Всякое \( M \mathfrak{R}_{c}^{G, \mathrm{~V}}(G) \) имеет ядро вида \( U(\lambda)^{*} U\left(\lambda^{\prime}\right) \), где \( \{U(\lambda)\} \) – измеримое семейство унитарных операторов в \( \mathscr{K} \).